Polígonos, Semejanza y Escalas en Geometría

Polígonos y Recubrimiento del Plano

Un polígono regular es toda figura cerrada delimitada por segmentos de igual longitud llamados lados, cuyos ángulos internos son todos iguales. Cuando se intenta recubrir el plano completamente sin dejar intersticios mediante un solo modelo de polígono regular, tenemos al triángulo equilátero, el cuadrado y el hexágono regular. Estos polígonos regulares deben cumplir que su ángulo en el vértice sea un submúltiplo de 360 grados; los anteriores tienen 60, 90 y 120 grados respectivamente.

Polígonos irregulares que recubren el plano

Existen también polígonos irregulares que pueden recubrir el plano, tales como:

• El romboide.
• Los trapecios.
• Los triángulos rectángulos e isósceles.

3. Figuras semejantes

Dos figuras son semejantes cuando tienen la misma forma (los ángulos son todos iguales y los segmentos correspondientes son proporcionales). La razón de proporcionalidad se denomina razón de semejanza.

Relaciones de semejanza

1. La razón entre las longitudes de dos figuras semejantes es igual a r, la razón de semejanza. La proporción entre las longitudes (o los perímetros P) es precisamente la razón de semejanza r.
2. La razón entre las áreas de dos figuras semejantes es igual al cuadrado de la razón de semejanza.
3. La razón entre los volúmenes de dos figuras semejantes es igual al cubo de la razón de semejanza.

Construir figuras semejantes

1. Mediante cuadrícula

• Se cuadricula la figura original.
• Se dibuja una cuadrícula con la longitud de sus cuadros igual a la longitud de los cuadros originales multiplicada por la razón de semejanza.
• En la nueva cuadrícula se dibuja la figura semejante a la dada, de modo que quede situada en los mismos cuadros que la original (actuando como una fotocopia ampliada).

2. Mediante proyección

Se dibuja un punto cualquiera, al que llamaremos centro de proyección. Desde dicho centro se trazan semirrectas que pasen por los vértices de la figura original. La distancia desde el centro de proyección a cada vértice se multiplica por la razón de semejanza, y el resultado será la distancia desde el centro de proyección a los vértices de la figura semejante.

Escala

La escala es la relación que existe entre la representación (plano, mapa) y la realidad. Por ejemplo, la escala 1:50 quiere decir que lo que en realidad mida 1 km, en el plano está dividido por 50, y lo que en el plano mida 1 unidad, en la realidad está multiplicado por 50. En conclusión, la escala es lo mismo que la razón de semejanza.