Polígon de nou costats

PUNT: no té dimensió. S’utilitza per indicar una posició en l’espai.

• RECTA: és il·limitada. Tampoc té dimensió. Teòricament no es podria representar. Considerarem que dos

punts determinen una, i només una, línia recta que passa per ells.

PUNTS COL·LINEALS: els que estan continguts en la mateixa recta

TRES PUNTS NO COL·LINEALS: determinen un PLA.

Amb aquestes definicions bàsiques es poden formular una sèrie de principis en els que se basa la Geometria:

- Les rectes i els plans són conjunts de punts.

- L’espai es defineix com el conjunt de tots els punts.

- Qualsevol subconjunt de punts és una figura geomètrica.

L’objectiu de la Geometria és descriure , classificar i estudiar les propietats de les figures geomètriques.

Rectes paral·leles: les que estan contingudes en un mateix pla i no tenen cap punt en comú.

Rectes concurrents: les que tenen un punt en comú.

Recta secant: la que talla a altres dues.

Semirecta: cada una de les dues parts en que queda dividida una recta per qualsevol dels seus punts. Una semirecta

té un primer punt, denominat origen i, per l’altra banda, s’estén cap l’infinit.

Semiplà: cada una de les parts en que un pla queda dividit per una recta.

• SEGMENT: Donats dos punts A i B que pertanyen a una recta, se denomina segment al conjunt de punts

compresos entre els dos. Als punts A i B se’ls anomena extrems del segment.

Longitud del segment: distància entre els punts A i B.

Segments congruents: els que tenen la mateixa longitud. En la figura, AB i CD són segments congruents.

ANGLE: és la zona del pla compresa entre dues semirectes que tenen el mateix origen, al que se denomina

vèrtex de l’angle.

Un angle divideix al pla en dues parts:
interior (o convex) i exterior (o còncau).

La mida de l’angle se mesura per la quantitat de rotació requerida per girar un dels costats de l’angle fins que

coincideixi amb l’altre, prenent com a centre de gir el vèrtex.

La unitat de mesura habitual és el grau sexagesimal, que és la mesura que s’obté al dividir una circumferència en

360 parts iguals.

Definició “senzilla” de corba: conjunt de punts que un llapis traça al ser desplaçat pel pla sense ser aixecat en cap

moment.

Corba simple: el traç mai passa dues vegades pel mateix punt.

Corba tancada: el traç finalitza en el mateix punt on es va iniciar.

Una corba precisa d’un punt inicial i un altre final, per la qual cosa ni les rectes ni les semirectes són corbes.

Una corba tancada i simple divideix el pla en dues regions: la interior i l’exterior.

Figures convexes: Una figura és convexa si, i només si, tot segment PQ que es pugui traçar unint dos punts

qualssevol P i Q de la figura està contingut en el seu interior (no hi ha punts del segment en la regió exterior de la

figura).

Figures còncaves: les que no són convexes.

Components principals d’un polígon

Costats del polígon: cada un dels segments que el formen.

Vèrtexs del polígon: cada un dels extrems dels costats.

Angle interior: el que formen dos costats consecutius d’un polígon en el seu interior.

Angle exterior: el que formen un costat i la prolongació del consecutiu, en l’exterior del polígon.

En un polígon convex, l’angle exterior és suplementari de l’angle interior corresponent

Diagonal: segment que uneix dos vèrtexs no consecutius.

Perímetre: la suma de les longituds de tots els seus costats.

Components característics d ’ un polígon regular

Polígon regular: el que té tots els seus costats i angles iguals.

Exemples: triangle equilàter, quadrat, pentàgon regular,…

Centre: és el punt que equidista dels vèrtexs.

Radi: qualsevol segment que uneix el centre amb un vèrtex.

Apotema: qualsevol segment que uneix el centre amb el punt mitjà de qualsevol costat.

Angle central: el format per dos radis consecutius.

Triangle: polígon de tres costats.

Algunes propietats generales dels triangles

1. La suma dels angles interiors és 180º.

2. Un angle exterior és igual a la suma dels dos angles interiors no adjacents.

3. Dos triangles són iguals si:

a) Tenen igual un costat i els dos angles adjacents.

b) Tenen dos costats iguals i també l’angle comprés.

c) Tenen els tres costats iguals

4. A major costat s’oposa major angle.

5. Si té dos costats iguals també són iguals els angles oposats.

6. Un costat sempre és menor que la suma dels altres dos i major que la seva diferència.

Classificació dels triangles

A) Segons els seus costats

· Triangle equilàter: els seus tres costats són iguals

· Triangle isòsceles: si té dos costats iguals.

· Triangle escalè: si tots els seus costats tenen longituds diferents.

B) Segons els seus angles

· Triangle rectangle: si té un angle recte (90°). Als dos costats que conformen l’angle recte se’ls denomina

catets i a l’altre costat, el major, hipotenusa.

· Triangle acutangle: els seus tres angles són menors a 90º.

· Triangle obtusangle: si un dels seus angles és obtús (major de 90º)

Elements notables dels triangles

• Mediana: segment que uneix un vèrtex i el punt mitjà del costat oposat.

Les medianes d’un triangle es tallen en un punt que s’anomena baricentre.

El baricentre és el centre de gravetat del triangle.

• Bisectriu: semirecta que divideix un angle en dues parts iguals.

Les bisectrius d’un triangle es tallen en un punt que s’anomena incentre.

L’incentre és el centre de la circumferència inscrita.

• Mediatriu: recta perpendicular a un costat pel seu punt mitjà.

Les mediatrius d’un triangle es tallen en un punt que s’anomena circumcentre.

El circumcentre és el centre de la circumferència circumscrita. No té perquè ser un punt interior del

triangle. En un triangle rectangle el circumcentre coincideix amb el punt mitjà de la hipotenusa.

Altura: recta perpendicular que uneix un vèrtex i el costat oposat.

Les altures d’un triangle es tallen en un punt que s’anomena ortocentre. No té perquè ser un punt interior

del triangle.

Propietats sobre els costats dels triangles

1. Un costat sempre és menor que la suma dels altres dos i major que la seva diferència.

2. En un triangle rectangle: a2 = b2 + c2 (a = costat major, hipotenusa). Teorema de Pitàgores.

3. En un triangle acutangle: a2 < b2 + c2 (a = costat major)

4. En un triangle obtusangle: a2 > b2 + c2 (a = costat major)

1 .5 . Els quadrilàters i la seva classificació

Quadrilàter: polígon de quatre costats.

Algunes propietats generales dels quadrilàters

1. Tenen 4 vèrtexs i 2 diagonals.

2. La suma dels angles interiors és 360º.

3. La suma dels angles exteriors també és 360º. Són els únics polígons en els que la suma d’angles interiors i

exteriors coincideix.

Existeixen múltiples classificacions dels quadrilàters. Una classificació que contempla la gama completa de figures

convexes de quatre costats pot ser la que segueix.

1. PARAL·LELOGRAMS

- Tenen els seus costats paral·lels dos a dos.

- Els costats oposats són iguals (congruents).

- Els angles oposats són iguals (congruents).

- Les diagonals es tallen mútuament en parts congruents.

Són paral·lelograms:

* El rectangle: quatre angles de 90º. Les seves diagonals són iguals.

* El rombe: quatre costats iguals. Les seves diagonals són perpendiculars i són les bisectrius dels angles.

* El quadrat: quatre angles de 90º i tots els seus costats iguals. És a la vegada un rectangle i un rombe

(diagonals iguals i perpendiculars; i bisectrius dels angles).

Rectangle Rombe Quadrat

Alguns autors denominen romboide al paral·lelogram que no és rectangle, rombe ni quadrat.

2. TRAPEZIS

- Tenen dos costats paral·lels.

- Els costats paral·lels s’anomenen bases del trapezi.

Hi ha 3 classes de trapezis:

- Trapezi escalè (o simplement trapezi): té els seus costats no paral·lels desiguals.

- Trapezi isòsceles: té els seus costats no paral·lels iguals. Es pot inscriure en una circumferència.

- Trapezi rectangular: té dos angles rectes.

3. TRAPEZOIDES

- No tenen cap parella de costats paral·lels.

Un cas especial de trapezoide són els cometes. S’anomena així al trapezoide que té dos costats consecutius iguals i

els altres dos costats distints dels anteriors, però també congruents entre sí.

El quadrilàter ABCD de la figura és una cometa, per no tenir costats paral·lels i ser:

AB = BC

AD = CD

La diagonal de la cometa que uneix els vèrtexs a els que concorren els pars de costats congruents s’anomena

diagonal principal. En la cometa considerada, BD és la diagonal principal.

Propietat de la cometa: La diagonal principal de la cometa és bisectriu dels angles els vèrtexs dels quals uneix, i

talla perpendicularment a l’altra diagonal en el punt mitjà.

Existeix un cas particular especialment interessant, el cometa rectangular que té dos angles rectes. Aquest cometa

té circumferència inscrita i circumscrita.

1.6 . La circumferència i el cercle

CIRCUMFERÈNCIA

És la corba, plana i tancada, en que tots els seus punts equidisten d’un interior anomenat centre.

Elements :

- Centre: punt interior del qual equidisten tots els punts de la circumferència.

- Radi: segment que uneix el centre amb qualsevol punt de la circumferència.

- Corda: segment que uneix dos punts de la circumferència.

- Diàmetre: segment que uneix dos punts de la circumferència passant pel centre. És la major corda que es pot

traçar en la circumferència. El diàmetre és igual a dos radis.

- Arc: part de la circumferència compresa entre dos punts.

- Semicircumferència: cada un dels dos arcs iguals en que un diàmetre divideix a la circumferència.

Rectes respecte a una circumferència

- Tangent: un punt de contacte amb la circumferència

- Secant: talla la circumferència en dos punts

- Exterior: no té cap punt de contacte amb la circumferència

Angles en una circumferència

Angle central és l’angle que té el seu vèrtex en el centre de la circumferència i els costats són radis d’ella. Mesura

el mateix que l’arc que abasteix.

O = A» B

Angle inscrit és aquell que té el seu vèrtex en la circumferència. Mesura la meitat de l’arc que abasteix.

A¼ B C

2

=

Angle interior, té el seu centre en un punt interior del cercle. La seva mesura és la semisuma dels dos arcs que

abasteix (el que compren i l’oposat).

A» B + C»D

2

Angle exterior és aquell que té el seu vèrtex en un punt exterior de la circumferència, podent ser els seus costats,

tangents o secants a la mateixa. La seva mesura és la semidiferència dels arcs que abasteix.

A» B + C»D

2

CERCLE

Definició: porcíó del pla limitada per una circumferència

Elements:

Sector circular: part del cercle limitat entre dos radis i el seu arc corresponent

Segment circular: part del cercle limitat entre una corda i el seu arc corresponent.

Corona circular: part del cercle limitat per dues circumferències concèntriques.

Semicercle: és la meitat del cercle

La circumferència té longitud: L = 2 p r

El cercle té àrea: A = p r2

1.7 . Figures a l ’ espai

Definicions a l ’ espai

Dues rectes que no es tallen a l’espai es diu que:

* són paral·leles, si estan contingudes en el mateix pla (r i s)

* es creuen, si no estan contingudes en el mateix pla (u es creua amb r, s i t)

Dues rectes que tenen un punt en comú es diuen secants (t és secant amb r i amb s). )

Angle díedre: el que formen dos plans que es tallen. La recta intersecció dels dos plans es denomina aresta. La

mesura de l’angle díedre és l’angle format per dues rectes que es tallen (una en cada pla) perpendicularment a

l’aresta.

Un sòlid geomètric és una regió tancada de l’espai limitada per certes superfícies que poden ser planes o corbes.

Alguns exemples de sòlids són:

Prisma Prisma Cub Piràmide Piràmide Cilindro Esfera Cono

rectangular triangular triangular rectangular

Els exemples anteriors són sòlids convexos: qualsevol segment que es traça entre dos punts de la superfície sempre

està contingut en el sòlid.

Exemples de sòlids còncaus:

Els poliedres

Un poliedre és un sòlid format per regions poligonals planes.

Cara del poliedre: cada un dels polígons que limiten al sòlid

Arestes del poliedre: segments en els que es troben dues cares

Vèrtexs del poliedre: punts en els que s’uneixen tres o més arestes

Diagonals del poliedre: segments que uneixen vèrtexs no consecutius

Classificar els poliedres es pot fer de diferents formes:

* Segons la seva inclinació: poliedres rectes i poliedres oblics.

* Segons el nombre de bases.

* Segons el tipus de polígons que el formen (polígons regulars, polígons iguals): poliedres regulars, semiregulars,

deltaedres,…

Un prisma és un poliedre les cares laterals del qual són paral·lelograms i les bases ssón idèntiques i paral·leles.

Poliedres regulars

Totes les cares són polígons regulars congruents (iguals). En cada vèrtex concorren el mateix nombre de cares.

Els angles díedres són tots iguals. El nombre de cares concurrents ha de ser 3 com a mínim.

Una condició necessària per formar un poliedre regular és que la suma dels angles interiors dels polígons que

formen les seves cares ha de ser menor de 360º (en cas contrari no es podrien tancar en el seu interior).

a) Formats per triangles equilàters

Cada angle és de 60º. Com la suma d’angles concurrents ha de ser menor de 360º, podem fer concórrer (amb

l’objectiu de formar un sòlid) tres (sumen 180º), quatre (sumen 240º) o cinc (sumen 300º) triangles equilàters.

4 triangles equilàters

Tetràedre

8 triangles equilàters

Octàedre

20 triangles equilàters

Icosàedre

b) Formats per quadrats

Cada angle és de 90º. Només podem fer concórrer tres (sumen 270º).

6 quadrats

Hexàedre o cub

c) Formats per pentàgons regulars

Cada angle és de 108º. Només podem fer concórrer tres (sumen 324º).

Fórmula d ’ Euler pels poliedres

En qualsevol poliedre es compleix que el nombre de cares més el de vèrtexs és igual al nombre de arestes més

2.

C + V = A + 2

Con s i cilindres: definicions generales

* Con: la base és qualsevol regió limitada per una corba tancada simple. La superfície lateral està generada per

segments que uneixen un punt fix (vèrtex), no situat en el pla de la base, amb els punts de la corba que delimita la

base.

* Cilindre: sòlid que se genera al traslladar els punts d’una corba tancada simple a un pla paral·lel. Els punts que

uneixen punts corresponents en les corbes que limiten les bases formen la superfície lateral.

ANNEX: Recobriment del pla amb polígons

El recobriment del pla mitjançant figures poligonals també es coneix com teselació.

Ja els antics sumeris empraven regularitats geomètrics per construir mosaics. Arquímedes en el segle III a. De C. Va

fer un estudi damunt els polígons regulars que podien cobrir el pla.

En temps més recents cap destacar l’estudi de recobriments per part de l’artista holandès M. C. Escher (1898-1972).

Una teselació d’una figura consisteix en cobrir completament la figura amb determinades teseles, sense solapaments

interiors.

En Matemáticas l’interès de les teselacions es redueix a l’ús de polígons. Per aconseguir que certs polígons

cobreixin completament el pla formant una teselació s’ha de complir que la suma de tots els angles que concorren

a un vèrtex sigui 360º.

Teselacions poligonals

1) Amb triangles: és possible teselar donat que la suma dels angles interiors és 180º. Bastarà col·locar

convenientment 6 figures. Col·locarem els triangles de manera que coincideixin en un vèrtex els angles 1, 2 i 3 (que

sumen 180º). Sobre ells col·locarem la figura simètrica i haurem aconseguit els 360º en el vèrtex comú.

2) Amb quadrilàters: és possible teselar amb qualsevol quadrilàter, gràcies a que els angles interiors d’un

quadrilàter sumen 360º. Basta col·locar 4 figures convenientment, de manera que en el vèrtex comú concorrin els

quatre angles del quadrilàter..

3) Amb pentàgons: En general no és possible aconseguir teselacions. Però existeixen una sèrie de solucions usant

pentàgons amb els que es pot aconseguir. Una de les més conegudes és l’anomenada teselació del Cairo perquè

molts dels carrers d’aquesta ciutat foren enrajolats d’aquesta manera.

4) Amb hexàgons: una manera de teselar emprant hexàgons és utilitzar una teselació feta amb quadrilàters, que com

hemos vist sempre és possible, i unir dos quadrilàters contigus esborrant el costat comú. Aquí teniu exemples de

diferents construccions hexagonals a partir d’una teselació amb quadrilàters.

Tessel·lacion s regulars

Les que poden formar-se amb polígons regulars.

Com la uníó en cada vèrtex ha de sumar 360º per tal que no quedin espais, els únics polígons regulars que sumen

360º al unir-los pels seus angles interiors són aquests tres: el triangle equilàter, el quadrat i l’hexàgon regular.

Teselacion s semiregulars

Són aquelles que contenen 2 o més polígons regulars en la seva formació.