Optimalidad en Programación No Lineal: Condiciones KKT y Función Lagrangiana
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Programación no lineal ( cuando la función objetivo o alguna restricción es no lineal). Tienen infinitas soluciones factibles de entre las cuales hay que encontrar la solución óptima. Todas las restricciones son lineales, todas las soluciones factibles del problema son regulares.
Una solución factible regular: es regular si verifica alguna de las siguientes condiciones: 1. Es una solución de interior. 2. Es una solución frontera y los gradientes de las restricciones saturadas en este punto forman un sistema de vectores linealmente independientes.
Las condiciones de Kuhn y Tucker son el punto de partida para alcanzar el óptimo global de un problema de programación no lineal. Los puntos que satisfacen estas condiciones son los candidatos a óptimos globales, pero para que lo sean efectivamente, se requerirá un análisis posterior de las condiciones de suficiencia.
Pasos a seguir para resolver un problema de programación no lineal: 1. Comprobar que se cumplan las condiciones necesarias de optimalidad. 2. Expresar el problema en forma canónica. 3. Construir la función Lagrangiana. 4. Calcular los puntos de Kuhn y Tucker. 5. Comprobar que se verifiquen las condiciones suficientes de optimalidad.
La función lagrangiana L es una función cuyas variables son las variables principales del problema más una nueva variable por cada restricción. Estas nuevas variables se conocen como multiplicadores de Kuhn y Tucker. La función L se obtiene sumando a la función objetivo un término Lambda por cada restricción del problema.
Condiciones de Kuhn y Tucker: 1. Factibilidad: el punto x es una solución factible (satisface las restricciones del problema) 2. Punto crítico: las derivadas de la lagrangiana respecto a las variables principales son nulas en x. 3. Signo: lambda>:0 si está asociado a una restricción canónica: lambda <:0 si está asociado a una restricción canónica, lambda es libre si está asociado a una restricción de igualdad. 4. Holgura complementaria: si lambda es un multiplicador asociado a una restricción de desigualdad, entonces lambda(b-g(x))=0.
Si en un problema de porgramación no lineal, en el cual tanto la función objetivo como las restricciones son funciones de clase C2 y, además, se cumple una de las tres cualificaciones de restricciones, se encuentra un óptimo global, éste será un punto de Kuhn y Tucker.
Condiciones suficientes de optimalidad (max): sea un problema de programación no lineal, en el cual tanto la función objetivo como las restricciones son funciones de clase C2, el conjunto de oportunidades es convexo y, además, la función objetivo es cóncava, entonces todo punto de Kuhn y Tucker es máximo global. (min = convexo, convexa, min global).
Sea un problema de programación no lineal, en el cual tanto la función objetivo como las restricciones son funciones de clase C2, se verifica alguna cualificación de restricciones, se cumple el teorema de Weiertrass y hay un número finito de puntos de kuhn y tucker, entonces el mejor de los puntos de kuhn y tucker será el óptimo global (max o min).