Números enteros, fracciones, decimales, potencias y radicales: conceptos y operaciones
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Números enteros
El conjunto Z
Se trata de los números enteros negativos junto con los números naturales, que forman el conjunto de los números enteros, denominado Z.
Valor absoluto de un número
El valor absoluto de un número es su magnitud si prescindimos de su signo. Se escribe así: |x|.
Ejemplos: |13| = 13, |-27| = 27.
Gráficamente, el valor absoluto de un número es su distancia al cero: |-4| = 4.
Jerarquía de operaciones
- Llaves, corchetes y paréntesis.
- Potencias y raíces.
- Multiplicación y división.
- Suma y resta.
Reglas de signos (multiplicación y división)
- + · + = +
- - · - = +
- + · - = -
- - · + = -
Fracciones
Fracciones equivalentes
Ejemplo: 1/2 = 2/4.
Siempre hay que buscar la fracción irreducible (simplificada).
Se puede obtener la fracción irreducible factorizando o dividiendo por el máximo común divisor (m.c.d.).
Comparar fracciones
Para comparar fracciones conviene que tengan el mismo denominador. Si no lo tienen, se reduce al común denominador (por ejemplo, utilizando el m.c.m.).
Operaciones con fracciones
Suma y resta
Las fracciones deben tener el mismo denominador. Si no lo tienen, se busca el m.c.m. de los denominadores, se divide el denominador común entre cada denominador y el cociente se multiplica por el numerador correspondiente.
Ejemplo:
3/5 + 5/4 = 12/20 + 25/20 = 37/20
Procedimiento (paso a paso): (20 ÷ 5 · 3)/20 + (20 ÷ 4 · 5)/20 = 12/20 + 25/20 = 37/20.
Multiplicación
Para multiplicar, se multiplican numeradores y denominadores. Es recomendable simplificar antes si es posible.
Ejemplo: 12/21 · 7/48
Podemos simplificar antes:
12 = 3 · 4, 21 = 3 · 7, 48 = 4 · 12
Al simplificar se cancelan los factores comunes (por ejemplo, los 3 y los 4 y el 7 cuando corresponda). El resultado en este ejemplo queda 1/12.
División
La división de fracciones se realiza multiplicando por la inversa de la segunda fracción (divisor). Antes de multiplicar, es conveniente simplificar o factorizar para facilitar el cálculo.
Hallar después la fracción irreducible.
Operaciones combinadas
En las operaciones combinadas con fracciones se sigue la misma jerarquía que en los números enteros (paréntesis, potencias, multiplicación/división, suma/resta).
Números decimales
|N = números naturales
|Z = números enteros
| Nº decimales | Cómo son (ejemplo) |
|---|---|
| Exacto | 0,75 |
| Periódicos puros | 0,3333333... |
| Periódicos mixtos | 0,7585858585... |
Todos los números que se repiten constantemente se marcan con un sombrerito (o una barra) sobre la cifra repetida: por ejemplo, 0,3̅ representa 0,3333...
Fracción generatriz y cómo se hace:
| Decimal exacto | 0,75 = 75/100 = 3/4 |
| Periódico puro | Ejemplo: N = 1,757575... Multiplico los dos lados de la igualdad: 100N = 175,7575... - N = 1,7575... _______________________ 99N = 174 Por tanto, N = 174/99 = 58/33 (fracción irreducible). Forma corta: (número entero formado por la parte decimal repetida y la parte entera) - (parte entera) dividido entre tantos 9 como cifras tenga la parte periódica: 175 - 1 / 99 = 174/99 = 58/33. Nota: sin la coma; los "9" corresponden a las cifras repetidas en la parte decimal. |
| Periódico mixto | Ejemplo: N = 1,758585... Multiplico los dos lados de la igualdad: N = 1,758585... 10N = 17,58585... 1000N = 1758,58585... Restando: 1000N - 10N = 1758,58585... - 17,58585... _____________________________ 990N = 1741 Por tanto, N = 1741/990 (y después se simplifica si es posible). Forma corta: (número formado por la parte hasta completar la repetición) - (parte no periódica) sobre tantos 9 como cifras tenga la parte periódica y tantos 0 como cifras tenga la parte no periódica: 1758 - 17 / 990 = 1741/990. |
Potencias
Operaciones con potencias
Misma base y distinto exponente
Multiplicación: a^m · a^n = a^(m+n)
División: a^m : a^n = a^(m-n)
Potencia de una potencia: (a^m)^n = a^(m·n)
Mismo exponente y distinta base
Multiplicación: a^m · b^m = (a · b)^m
División: a^-n = 1 / a^n
a^n · b^n = (a · b)^n
Cualquier número elevado a 0 es igual a 1: a^0 = 1 (si a ≠ 0).
Radicales
Observaciones generales:
- La raíz principal es no negativa: la notación √a representa la raíz principal (no negativa) de a cuando se trata de raíz cuadrada.
- Si en una ecuación aparecen x^2 = a (a > 0), las soluciones son ±√a.
- Las raíces impares (por ejemplo, cúbicas) sí pueden ser negativas si el radicando es negativo.
Extraer términos de una raíz
Ejemplo: √25 = 5
Siempre que sea posible, simplificar lo máximo antes de realizar la operación.
Propiedades:
- √(A/B) = √A / √B
- √(A · B) = √A · √B
Suma y resta de raíces
Solo se pueden sumar o restar raíces que sean semejantes (mismo índice y mismo radicando en forma simplificada).
Ejemplo:
3√5 + 2√7 - 4√5 + √7 = (3√5 - 4√5) + (2√7 + √7) = -√5 + 3√7
No es posible operar 3√2 + 5√3 porque las raíces no son semejantes (no tienen el mismo radicando).
Raíces y sus operaciones
- √[n]{a^n} = |a| si n es par (la raíz principal es no negativa). Si se trabaja con potencias y signos, tener en cuenta el índice.
- √[n]{a} · √[n]{b} = √[n]{a · b}
- √[n]{a} : √[n]{b} = √[n]{a/b}
- (√[n]{a})^m = √[n]{a^m}
Ejemplo ilustrativo: (√[3]{82})^3 = 82 — se elimina el índice si la potencia coincide con el índice.
Ejemplos y recursos visuales
