Números enteros, fracciones, decimales, potencias y radicales: resumen con operaciones

Números enteros

El conjunto Z

Se trata de los números enteros negativos junto con los números naturales, que forman el conjunto de los números enteros, denominado Z.

Valor absoluto de un número

El valor absoluto de un número es su magnitud si prescindimos de su signo. Se escribe así: |x|.

Ejemplos: |13| = 13, |-27| = 27.

Gráficamente, el valor absoluto de un número es su distancia al cero: |-4| = 4.

Jerarquía de operaciones

1. Llaves, corchetes y paréntesis.
2. Potencias y raíces.
3. Multiplicación y división.
4. Suma y resta.

Reglas de signos (multiplicación y división)

• + · + = +
• - · - = +
• + · - = -
• - · + = -

Fracciones

Fracciones equivalentes

Ejemplo: 1/2 = 2/4.

Siempre hay que buscar la fracción irreducible (simplificada).

Se puede obtener la fracción irreducible factorizando o dividiendo por el máximo común divisor (m.c.d.).

Comparar fracciones

Para comparar fracciones conviene que tengan el mismo denominador. Si no lo tienen, se reduce al común denominador (por ejemplo, utilizando el m.c.m.).

Operaciones con fracciones

Suma y resta

Las fracciones deben tener el mismo denominador. Si no lo tienen, se busca el m.c.m. de los denominadores, se divide el denominador común entre cada denominador y el cociente se multiplica por el numerador correspondiente.

Ejemplo:

3/5 + 5/4 = 12/20 + 25/20 = 37/20

Procedimiento (paso a paso): (20 ÷ 5 · 3)/20 + (20 ÷ 4 · 5)/20 = 12/20 + 25/20 = 37/20.

Multiplicación

Para multiplicar, se multiplican numeradores y denominadores. Es recomendable simplificar antes si es posible.

Ejemplo: 12/21 · 7/48

Podemos simplificar antes:

12 = 3 · 4, 21 = 3 · 7, 48 = 4 · 12

Al simplificar se cancelan los factores comunes (por ejemplo, los 3 y los 4 y el 7 cuando corresponda). El resultado en este ejemplo queda 1/12.

División

La división de fracciones se realiza multiplicando por la inversa de la segunda fracción (divisor). Antes de multiplicar, es conveniente simplificar o factorizar para facilitar el cálculo.

Hallar después la fracción irreducible.

Operaciones combinadas

En las operaciones combinadas con fracciones se sigue la misma jerarquía que en los números enteros (paréntesis, potencias, multiplicación/división, suma/resta).

Números decimales

|N = números naturales

|Z = números enteros

Todos los números que se repiten constantemente se marcan con un sombrerito (o una barra) sobre la cifra repetida: por ejemplo, 0,3̅ representa 0,3333...

Fracción generatriz y cómo se hace:

Potencias

Operaciones con potencias

Misma base y distinto exponente

Multiplicación: a^m · a^n = a^(m+n)

División: a^m : a^n = a^(m-n)

Potencia de una potencia: (a^m)^n = a^(m·n)

Mismo exponente y distinta base

Multiplicación: a^m · b^m = (a · b)^m

División: a^-n = 1 / a^n

a^n · b^n = (a · b)^n

Cualquier número elevado a 0 es igual a 1: a^0 = 1 (si a ≠ 0).

Radicales

Observaciones generales:

• La raíz principal es no negativa: la notación √a representa la raíz principal (no negativa) de a cuando se trata de raíz cuadrada.
• Si en una ecuación aparecen x^2 = a (a > 0), las soluciones son ±√a.
• Las raíces impares (por ejemplo, cúbicas) sí pueden ser negativas si el radicando es negativo.

Extraer términos de una raíz

Ejemplo: √25 = 5

Siempre que sea posible, simplificar lo máximo antes de realizar la operación.

Propiedades:

• √(A/B) = √A / √B
• √(A · B) = √A · √B

Suma y resta de raíces

Solo se pueden sumar o restar raíces que sean semejantes (mismo índice y mismo radicando en forma simplificada).

Ejemplo:

3√5 + 2√7 - 4√5 + √7 = (3√5 - 4√5) + (2√7 + √7) = -√5 + 3√7

No es posible operar 3√2 + 5√3 porque las raíces no son semejantes (no tienen el mismo radicando).

Raíces y sus operaciones

• √[n]{a^n} = |a| si n es par (la raíz principal es no negativa). Si se trabaja con potencias y signos, tener en cuenta el índice.
• √[n]{a} · √[n]{b} = √[n]{a · b}
• √[n]{a} : √[n]{b} = √[n]{a/b}
• (√[n]{a})^m = √[n]{a^m}

Ejemplo ilustrativo: (√[3]{82})^3 = 82 — se elimina el índice si la potencia coincide con el índice.

Ejemplos y recursos visuales