Números Complejos: Resolución de Ecuaciones, Operaciones y Módulos con Ejercicios Resueltos

Números Complejos

1. Resuelva las siguientes ecuaciones y exprese el resultado en función de la unidad imaginaria.

a) 3x² + 27 = 0     b) 2x² − 6x + 5 = 0

Solución a)

3x² = −27

x² = −27/3 = −9

x = ±√(−9) = ±3i

Solución b)

Aplicamos la fórmula general: x = [−b ± √(b² − 4ac)] / 2a

x = [6 ± √((−6)² − 4 · 2 · 5)] / (2 · 2)

x = [6 ± √(36 − 40)] / 4

x = [6 ± √(−4)] / 4

x = [6 ± 2i] / 4

x = 3/2 ± (1/2)i

2. Resuelva las siguientes operaciones.

a) 7 + 3i − i²³¹ + i⁹⁴ + 2i⁵¹ − 3i⁴⁰

Calculamos las potencias de i (el ciclo se repite cada 4 términos):

• i²³¹ = i³ = −i
• i⁹⁴ = i² = −1
• i⁵¹ = i³ = −i
• i⁴⁰ = i⁰ = 1

Sustituyendo:

7 + 3i − (−i) + (−1) + 2(−i) − 3(1)

7 + 3i + i − 1 − 2i − 3

= 3 + 2i

b) 3i⁶¹ + 8 − 5i²²³ + 2i²⁸⁵ − 2i³⁶⁷ + 8i³³⁴

Calculamos las potencias de i:

• i⁶¹ = i¹ = i
• i²²³ = i³ = −i
• i²⁸⁵ = i¹ = i
• i³⁶⁷ = i³ = −i
• i³³⁴ = i² = −1

Sustituyendo:

3(i) + 8 − 5(−i) + 2(i) − 2(−i) + 8(−1)

3i + 8 + 5i + 2i + 2i − 8

= 12i

3. Dados los números complejos Z₁ = −2 + 5i, Z₂ = −4 + 3i, Z₃ = −6i, calcule:

a) Z₁ + Z₂ − Z₃

(−2 + 5i) + (−4 + 3i) − (−6i) = −6 + 8i + 6i = −6 + 14i

b) Z₁ · Z₂ + Z₃

(−2 + 5i)(−4 + 3i) + (−6i)

= 8 − 6i − 20i + 15i² − 6i = 8 − 32i − 15 − 6i

= −7 − 38i

c) (Z₁ + Z₃) · Z₂ / Z₂

Como el factor Z₂ se cancela en el cociente, el resultado es Z₁ + Z₃:

(−2 + 5i) + (−6i) = −2 − i

d) (2 · Z₁ − Z₂) · Z₃

2(−2 + 5i) − (−4 + 3i) = −4 + 10i + 4 − 3i = 7i

7i · (−6i) = −42i² = 42

e) |Z₂|

|−4 + 3i| = √((−4)² + 3²) = √(16 + 9) = √25 = 5

f) |Z₁ + Z₂|

Z₁ + Z₂ = −6 + 8i

|−6 + 8i| = √((−6)² + 8²) = √(36 + 64) = √100 = 10