Movimiento vibratorio amortiguado

MOVIMIENTO VIBRATORIO ARMÓNICO

Denominamos movimiento vibratorio a cualquier movimiento limitado en torno a alguna posición que se repite reiteradas veces. Cuando todas las posiciones que alcanza el móvil se repiten en intervalos regulares de tiempo, decimos que el movimiento es periódico. En este caso la función temporal de posición, x(t), cumple que x(t) = x(t +
T) donde T es el intervalo de repetición y se denomina período.
En la naturaleza pueden observarse movimientos oscilatorios, relacionados con cualquier fenómeno. Por tanto, el estudio de los movimientos que cumplen esta condición resulta de gran interés. Como se verá en el desarrollo del tema, su estudio puede realizarse a partiendo de un movimiento concreto: el movimiento armónico simple.Este movimiento se define como el del móvil cuya posición se expresa como x(t)
= A cos(w t + j) 0 donde A es la amplitud del movimiento, j es la fase inicial, w0 se denomina frecuencia angular que se relaciona con el período

Considerado como la proyección de un movimiento circular uniforme, A y w0 se corresponden con el radio y la velocidad angular respectivamente. El estudio de las derivadas de esta función nos permiten conocer su velocidad y aceleración en función del tiempo. Consideremos, ahora una masa solicitada por una fuerza elástica. Esta fuerza,proporcional y opuesta al desplazamiento, provocará una aceleración también proporcional y opuesta al desplazamiento en cada momento.Esto nos permite identificar ambas expresiones y establecer que una masa solicitada por una fuerza elástica describe un movimiento vibratorio armónico simple de frecuencia angular. En general, un cuerpo másico sometido a una fuerza recuperadora, de dirección opuesta al desplazamiento, tiende a describir movimientos oscilatorios, aunque no sean simples. Reconoceremos el conjunto (elemento inerte con acción recuperadora)con el nombre genérico de oscilador mecánico.

MOVIMIENTO VIBRATORIO AMORTIGUADO

En la experiencia de todos, está el reconocer y recordar osciladores de diverso tipo, (p.E. Cualquier péndulo), que hemos excitado haciéndolos funcionar. Lo que resulta más difícil es que alguien haya visto funcionar este oscilador indefinidamente, como se ha descrito antes. Si nos conformamos con que “indefinidamente”, quiera decir un número apreciable de oscilaciones, seguramente podremos poner algunos ejemplos. Pero la realidad rigurosa es que siempre que excitamos un oscilador y lo abandonamos, se acaba parando más o menos rápidamente. El estudio anterior no es erróneo, aunque hemos admitido condiciones idealizadas.De hecho, todos los osciladores que vemos se encuentran rodeados de otras cosas, sobre las que pueden hacer fuerza de alguna forma. Esas fuerzas cuando no las podemos controlar, solemos llamarlas rozamientos, y aceptamos que pueden disminuir la energía de nuestro dispositivo. Como hemos hecho antes, vamos a dar a estas fuerzas una forma que nos resulte cómoda para el cálculo. No analizaremos todas las posibilidades porque la mayor parte de los casos se nos complicarían demasiado. Pero a pesar de ello otra vez los resultados se “parecerán” a las situaciones reales lo suficiente como para que aprendamos algo. El caso que estudiamos aquí es el de una fuerza que se opone al movimiento y es proporcional a la velocidad FR = -
bv donde b es la contante de proporcionalidad. Vemos que la función del movimiento propuesta, puede derivarse, sustituirse y la ecuación se cumple. Realmente no necesitamos mucho más. Ahora queremos ver que ocurre cuando tenemos en cuenta la fuerza de rozamiento que hemos propuesto. Vemos que lo que multiplica al coseno es una exponencial decreciente, esto es, la amplitud del movimiento se va haciendo menor al pasar el tiempo, más rápidamente cuanto mayor es b.
La raíz del coseno es la actual frecuencia angular del movimiento que es menor cuanto mayor es b.
Este movimiento se denomina oscilación sub-amortiguada.Si b > bc , es grande, y la raíz anterior se hace imaginaria.

En este caso no hay oscilaciones y si el oscilador es abandonado fuera del equilibrio, se aproxima gradualmente a la posición de equilibrio sin pasarla. Si b = bc , se dice que el oscilador tiene la amortiguación crítica. En esta situación el movimiento hacia el punto de equilibrio es el más rápido posible, sin sobrepasarlo. Un hecho a considerar, de sumo interés, es que la disminución de amplitud del movimiento, supone una pérdida de energía. Un oscilador amortiguado pierde energía tanto más rápidamente cuanto mayor es b.
Si queremos volver a considerar la materia como un conjunto de osciladores, es fácil darse cuenta que cuando alguno de ellos está excitado ejercerá fuerzas sobre los vecinos de modo que puede realizar trabajo, y ésta es una forma de perder su energía. Puede entrar en la categoría de oscilador amortiguado. Esta idea tiene una contrapartida, los demás osciladores vecinos también pueden hacer trabajo sobre él ydarle energía...

MOVIMIENTO VIBRATORIO FORZADO: RESONANCIA

Hasta ahora hemos pensado que actuábamos sobre un oscilador y lo abandonábamos. En distintos ámbitos puede tener importancia saber qué hará un oscilador si se le mantiene sometido a alguna fuerza que varíe con el tiempo:

F(t)

Cuyas soluciones pueden ser tan variadas como las ideas que se nos puedan ocurrir para la función f(t).
Sin embargo, podemos restringir nuestras consideraciones a un caso de gran interés: que nuestra fuerza sea periódica y concretamente:
f(t) = F0 cos(wt). Observen que w no tiene subíndice. Es decir pensamos en un dispositivo que abandonado oscilaría, pero sobre el que vamos a actuar con una fuerza periódica de cualquier frecuencia. En este caso también evitamos la resolución de la ecuación, nos limitamos a dar la solución y estudiar sobre ella, los aspectos interesantes. Inicialmente, el movimiento del oscilador depende de cómo lo hayamos encontrado al empezar a actuar, pero al cabo de algún tiempo, y sin importar como estuviera al principio, el resultado es un movimiento vibratorio de la misma frecuencia que la de la fuerza aplicada. Si lo agitamos rápido, se mueve rápido, si lo agitamos despacio, se mueve despacio. Así es la respuesta de nuestro oscilador. Prueben a sustituir en la ecuación una solución de la forma:

X(t)

= A cos(wt – a) verán que la solución es correcta y cumple la ecuación pero con la condición de que Ay a tengan los valores adecuados. Parece complicado, pero realmente sólo nos interesa hacer algunas consideraciones de tipo general. Veamos: - La amplitud de la respuesta es proporcional a la amplitud de la actuación. - El denominador crece al aumentar b.
La amplitud de la respuesta es menor si aumenta la disipación.- Para b pequeña, el denominador decrece cuando la frecuencia de la fuerza, w, se hace parecida a la frecuencia propia del oscilador w
0. Esto es realmente interesante. Imaginemos que b es tan pequeño que podemos despreciarlo, la raíz puede hacerse tan pequeña como se quiera, con lo que la amplitud alcanzaría un valor tan alto como se quiera. Es una experiencia fácil de realizar, si actuamos sobre un sistema oscilante con una frecuencia igual a la suya podemos ir comunicándole energía en cada oscilación, de modo que el resultado es una oscilación de una amplitud extraordinaria. Este fenómeno se denomina resonancia, y es de gran importancia. La respuesta puede alcanzar valores importantes, aun cuando la actuación sea débil. - La energía de este oscilador se mantiene estable, luego la energía que disipa ha de ser la energía que reciba de la fuerza actuante f(t).
Por tanto, el oscilador tomará más energía cuanto más próximo se encuentre de la resonancia.
La potencia que disipa, igual a la que absorbe, resulta ser en promedio:
P = 1/2 A
² bw
²