Monopolio: Ejercicios Resueltos de Maximización de Beneficios, Subsidios e Impuestos en Microeconomía

Ejercicio 1: Monopolio con función de producción Cobb-Douglas

Monopolio con función de producción Y = K^1/2L^1/2, función de demanda P_Y = 80 - Y, precios de los factores w = 4 (salario) y r = 1 (renta del capital), y K constante igual a 1.

1) Demanda que maximiza el beneficio

Se plantea el beneficio como:

Max B = P_YY - (wL + rK), s.a. Y = f(K, L)

Sustituyendo la restricción tecnológica Y = 2L^1/2 en el beneficio y derivando respecto a L:

dB/dL = 80L^1/2 - 4 - 4 = 0

Despejando: 80 / L^1/2 = 8, es decir, L^1/2 / 80 = 1/8, de donde L = 100.

Sustituyendo L = 100 en la función de producción se obtiene el nivel de producción Y, y luego se sustituye en la función de demanda inversa para obtener el precio P.

2) Función de costos y demanda condicionada de trabajo

Como K es fijo, la demanda condicionada de trabajo se obtiene de Y = 2L^1/2:

L_cond = (Y/2)²

El costo mínimo de producción es:

Min C_cp = wL + rK = 4L + 4

Sustituyendo L_cond en el costo mínimo se obtiene la función de costos:

C(Y) = Y² + 4

Por último, el beneficio se expresa como B = PY - CT·Y = 80Y - Y² - Y² + 4. Se obtienen el ingreso marginal (IMg) y el costo marginal (CMg), se igualan para despejar Y, y posteriormente se sustituye en el precio y en la demanda condicionada de trabajo L.

Ejercicio 2: Monopolio con función de demanda potencial

Función de demanda X = 400P^-2 y función de costos C(x) = 5x.

1) Equilibrio del monopolista

Se despeja P en función de x para obtener la función inversa de demanda: P = 20x^-1/2.

El beneficio máximo se plantea como:

Max B = (20x^-1/2)(x) - 5x

Igualando IMg = CMg se obtiene x = 4, que es el nivel de producción del monopolista en equilibrio. Sustituyendo x = 4 en el precio se obtiene P, y luego se calcula el beneficio de equilibrio.

2) Oferta del monopolista frente a la competencia perfecta

En competencia perfecta, P = CMg, por lo que la producción de mercado competitivo es x_cp = 16.

Como x_cp = 16 > x_m = 4, el monopolio produce menos que el mercado competitivo, generando una pérdida de eficiencia.

3) Subsidio al monopolista por unidad producida

Para elevar las ventas al nivel del mercado competitivo, el gobierno otorga un subsidio (S) por unidad que reduce el costo marginal. La nueva función de costos es:

C(x) = 5x - Sx, por lo que CMg = 5 - S.

Igualando IMg = CMg: 10 / x^1/2 = 5 - S, con x = 16, se obtiene S = 2.5.

Sustituyendo x = 16 para obtener el nuevo precio y el nuevo beneficio:

Nuevo B = PX - 2.5x = 40

El aumento del beneficio es la diferencia entre el nuevo beneficio y el beneficio de equilibrio inicial. El costo del subsidio para el gobierno es S · X = 2.5 · 16 = 40, y corresponde a la producción total del mercado, no solo a la del monopolista.

Ejercicio 3: Monopolio con impuesto y excedente social

Mercado de medidores con función de demanda inversa P(M) = 100 - 4M, abastecido por un monopolista con función de costos CT(M) = M².

1) Excedente del monopolista y excedente social

Supongamos que el gobierno quiere recaudar 90 u.m., por lo que establece un impuesto por unidad producida.

Se maximiza el beneficio:

Max B = IT(M) - CT(M) = 100M - 4M² - M² = 100M - 5M²

Igualando IMg = CMg se obtiene M\*, y luego P\* sustituyendo en la demanda inversa. El beneficio de equilibrio se obtiene sustituyendo M\* en la expresión simplificada.

El excedente del productor es ExProd = B\* + CF = 500, ya que CF = 0.

El excedente del consumidor es ExCons = (P_max - P\*)M\* / 2.

2) Impuesto reflejado en el costo de producción

El impuesto incrementa el costo de producción: CT(M) = M² + tM, por lo que CMg = 2M + t.

Igualando IMg = CMg se obtiene una ecuación cuadrática que se resuelve para M\*. El impuesto se expresa como t = 90 / M (unidades monetarias por medidor).

Sustituyendo M\* en la función de demanda inversa se obtiene P\***, y luego se sustituye junto con M\*** en la expresión del beneficio para obtener el resultado final.