Modelos logit y probit

Problemas de los modelos de probabilidad lineal:

La estimación MCO de estos modelos presenta los siguientes inconvenientes:
La perturbación aleatoria (e_i)
se distribuye según una binomial dado el carácter binario de la variable endógena. Se incumple así el supuesto sobre las propiedades de la perturbación aleatoria en la estimación MCO, que dice que debe distribuirse según una Normal. La principal consecuencia es que no son válidos los estadísticos de contrastación de hipótesis. Este problema se puede atenuar empleando tamaños muéstrales grandes para los que la binomial es susceptible de aproximarse a una normal.
La perturbación aleatoria no tiene una varianza constante (es heteroscedástica), lo cual supone una falta de eficiencia. La estimación eficiente se logra transformando el modelo, dividiendo todas las variables por la raíz cuadrada de la varianza:Hecha esta transformación queda que la varianza de la nueva perturbación aleatoria es:(homoscedasticidad)

Las predicciones realizadas sobre Y_i no siempre se encuentran en el intervalo [0, 1], lo que no es admisible si el resultado es una probabilidad.
Este problema tiene dos soluciones, una es tomar como valor cero todas las estimaciones que arrojen resultados negativos y uno cuando resulten mayores que uno; la otra solución es utilizar funciones de distribución acotadas entre cero y uno como la logística y la normal; de éstas se derivan los modelos Logit y Probit.

El modelo logit:

El problema que presentan los MPL en cuanto a la existencia de predicciones establecidas fuera del rango se debe a que utilizan una función de probabilidad que depende linealmente de las variables explicativas (X) y se resuelve acotando dicha distribución de probabilidad. El modelo logit utiliza para ello la función de probabilidad logística. El carácter no lineal de los modelos logit requiere que la estimación no se haga por MC, sino por el método de la máxima verosimilitud. La probabilidad de que Y_i = 0 (p) se define mediante la expresión  donde   siendo los parámetros a estimar y X_i el vector de variables independientes.

Como   y 

Tomando logaritmos en la expresión anterior se obtiene:   donde L_i es el denominado Logit.Los coeficientes β miden el cambio causado en el Logit por el cambio en una unidad en el valor de X_i. Los coeficientes e^β definen el cambio en la relación de probabilidades [p/(1-p)] causado por el cambio en una unidad en el valor de X_i.El cambio en la probabilidad depende no sólo del coeficiente β sino también del nivel de probabilidad a partir del cual se mide el cambio. El cambio es máximo cuando P_i = 0,5 y mínimo cuando toma valores próximos a cero o uno.