Modelos de Colusión y Estabilidad de Cárteles en Microeconomía

Tabla de Referencia Rápida para Modelos de Colusión

Parte 1: Modelo Base (Duopolio de Bertrand con Horizonte Infinito)

Estrategia Gatillo (Grim Trigger)

• 1. Cooperar mientras el rival coopere. Si el rival se desvía → Competencia de Bertrand para siempre.
• 2. Identificar los tres escenarios principales:

• 3. Calcular πᴹ (Beneficio de monopolio):
  Max (P − c)·Q → CPO → QM, PM, πM
• 4. Calcular el beneficio y costo del desvío para cada firma:
  Beneficio del desvío = π^D − π^C
  Costo del desvío = (π^C − π^castigo) / r
  Donde r es la tasa de interés. La condición es: Costo ≥ Beneficio → colusión sostenible.
• 5. Condición equivalente con el factor de descuento (δ):
  δ ≥ (π^D − π^C) / (π^D − π^castigo)
  Para 2 firmas en un modelo de Bertrand simétrico: δ ≥ 1/2 ↔ r ≤ 1.

Nota importante: El "desvío" captura todo el mercado en ese período, pero en t+1 comienza el castigo. No se suma π^D durante varios períodos.

Parte 2: Fórmula General y Método del δ Mínimo

Método del δ mínimo

• 1. Identificar los tres pagos: π^C (cooperación), π^D (desvío), π^castigo (castigo).
• 2. Aplicar la fórmula directamente:
  δ ≥ (π^D − π^C) / (π^D − π^castigo)
• 3. Evaluación:
  Si el δ del enunciado ≥ δ mínimo → la colusión es sostenible.
  Si se proporciona r, convertir: δ = 1/(1+r).

Método de Beneficio vs. Costo del desvío

• 1. B = π^D − π^C
• 2. C = (π^C − π^castigo) / r
• 3. Si C ≥ B → No hay incentivos para desviar → colusión posible.
• 4. Si B > C → Hay incentivos para desviar → colusión no sostenible.

Nota: Ambos métodos son equivalentes. En la práctica académica, se utiliza frecuentemente la comparación de Beneficio y Costo.

Parte 3: Colusión con n Firmas Simétricas (Bertrand)

• 1. Calcular πᴹ de la forma habitual.
• 2. Asignar los pagos correspondientes:
  π^C = πᴹ/n
  π^D = πᴹ
  π^castigo = 0
• 3. Condición para que ninguna firma se desvíe:
  δ ≥ 1 − 1/n (equivalente a: r ≤ 1/(n−1)).
• 4. Verificación mediante Beneficio/Costo del desvío:
  B = πᴹ − πᴹ/n = πᴹ · (1 − 1/n)
  C = (πᴹ/n) / r
  C ≥ B → 1/(n·r) ≥ 1 − 1/n → r ≤ 1/(n−1).

Conclusión: A mayor número de firmas (n) → mayor es el δ mínimo requerido → más difícil es sostener la colusión.

Parte 4: Variantes del Modelo

A — Tiempo de reacción k períodos

• 1. El agente que se desvía obtiene πᴹ durante k períodos antes de que se active el castigo.
• 2. Condición:
  δ ≥ (1 − 1/n)^(1/k)

Nota: A mayor k (el castigo tarda más), el δ mínimo disminuye, lo que teóricamente facilita la colusión bajo ciertas condiciones de disciplina.

B — Probabilidad de no detección (p)

• 1. En cada período existe una probabilidad p de que el desvío no sea detectado. Si se detecta, se aplica el castigo.
• 2. Condición:
  δ ≥ (1/(1−p)) · (1 − 1/n)

Nota: Un aumento en p (menor probabilidad de detección) eleva el δ mínimo, dificultando la colusión.

C — Final estocástico (Probabilidad 1−p de continuación)

• 1. El juego finaliza con una probabilidad p en cada período (el momento exacto es desconocido).
• 2. Se define β = δ·(1−p) como el factor de descuento efectivo.
• 3. Condición de sostenibilidad:
  n ≤ 1 / (1 − β)

Nota: Al ser un fin desconocido, no puede resolverse por inducción hacia atrás, permitiendo la colusión.

D — Demanda creciente (Factor g > 1 por período)

• 1. La cooperación hoy otorga πᴹ/n, en t+1 otorga g·πᴹ/n, y así sucesivamente.
• 2. Condición:
  δ ≥ (1/g) · (1 − 1/n)

Nota: Un mayor crecimiento de la demanda (g) reduce el δ mínimo, facilitando la colusión ya que el futuro adquiere mayor valor.

Parte 5: Colusión con Castigo de Cournot

Cuando el castigo no es la anulación de beneficios (Bertrand), sino el equilibrio de Cournot:

• 1. Calcular el equilibrio de castigo (Cournot estático):
  CPO de la firma i dado el rival → qᴺ, πᴺ por firma.
• 2. Calcular el objetivo de colusión (Monopolio dividido):
  Max (P−c)·Q → QM, πM → π^C = πᴹ/2 por firma.
• 3. Calcular el desvío óptimo:
  Dado que el rival produce qᴹ/2, se maximiza la ganancia propia:
  Max π₁ = (P(qᵢ + qᴹ/2) − c)·qᵢ → CPO → qᵢ^desvío.
  qᵢ^desvío = BR₁(qᴹ/2) (Función de reacción de Cournot evaluada en la producción colusiva del rival).
  π^D = (P(qᵢ^desv + qᴹ/2) − c) · qᵢ^desv
• 4. Condición de δ mínimo:
  δ ≥ (π^D − π^C) / (π^D − πᴺ)

Advertencia: Dado que π^castigo = πᴺ > 0, es más difícil sostener la colusión en comparación con el castigo de Bertrand (donde π^castigo = 0).

Ejemplo tipo (P = a−bQ, c dado)

• 1. Cournot: qᴺ = (a−c)/(3b), πᴺ = (a−c)²/(9b).
• 2. Monopolio: QM = (a−c)/(2b), πM = (a−c)²/(4b). Cada firma: q^col = QM/2, π^C = πM/2.
• 3. Desvío: BR₁(q₂) = (a−c)/(2b) − q₂/2. Evaluando en q₂ = QM/2:
  q₁^desv = (a−c)/(2b) − (a−c)/(8b) = 3(a−c)/(8b).
• 4. Calcular π^D con q₁^desv y q₂ = QM/2, y aplicar la fórmula de δ.

Parte 6: Cuotas Asimétricas (Costos o Tasas de Descuento Distintas)

A — Costos asimétricos con cuota α para la firma 1

• 1. Sin colusión (Bertrand): p = c₂, π₁^castigo = (c₂−c₁)·D(c₂), π₂^castigo = 0.
• 2. Con colusión: Precio = pᴹ, la firma 1 toma la fracción α del mercado.
  π₁^C = α·πᴹ; π₂^C = (1−α)·πᴹ.
• 3. Desvío: Captura total del mercado → π^D = πᴹ.
• 4. Condición Firma 1: C₁ ≥ B₁ → (α·πᴹ − π₁^castigo) / r₁ ≥ (1−α)·πᴹ.
• 5. Condición Firma 2: C₂ ≥ B₂ → ((1−α)·πᴹ − π₂^castigo) / r₂ ≥ α·πᴹ.
• 6. Resolver para α. La colusión es posible si existe un valor de α que satisfaga ambas inecuaciones.

B — Tasas de descuento distintas (r₁ ≠ r₂) con castigo Bertrand

• 1. La firma i no desvía con una cuota αᵢ si:
  αᵢ / rᵢ ≥ (1 − αᵢ) → αᵢ ≥ rᵢ / (1 + rᵢ).
• 2. Condición de viabilidad (Σαᵢ = 1):
  Σ rᵢ/(1+rᵢ) ≤ 1

Algoritmo para el rango de α válido (2 firmas)

Parte 7: Conversión entre Factor de Descuento (δ) y Tasa de Interés (r)

Regla de pulgar:
δ ≥ 1/2 ↔ r ≤ 1
δ ≥ 2/3 ↔ r ≤ 1/2
δ ≥ 3/4 ↔ r ≤ 1/3