Modelado Estadístico y Diseño de Experimentos con R: ANOVA y Pruebas de Hipótesis

Definición de Variables y Preparación de Datos

En esta sección se transforman las variables categóricas en factores y se define la variable de respuesta para el procesamiento en R:

BLOQUE <- factor(datos[,1])
DATA <- (datos[,2])
MEDICAMENTO <- factor(datos[,3])
SEXO <- factor(datos[,4])

Modelo Matemático del Experimento

El modelo lineal propuesto para este diseño experimental es:

y_ijk = μ + α_i + β_j + (αβ)_ij + s_k + ε_ijk

Visualización de Interacciones

Para observar el comportamiento de las variables MEDICAMENTO y SEXO sobre la variable DATA, se generan los siguientes gráficos:

windows()
par(mfrow=c(1,2))
interaction.plot(MEDICAMENTO, SEXO, DATA)
interaction.plot(SEXO, MEDICAMENTO, DATA)

Evaluación de Efectos e Hipótesis

Dependiendo de la significancia de la interacción, se procede de la siguiente manera:

• Si hay interacción: Se procede con el estudio de efectos fijos.
• Si no hay interacción: Se procede con el estudio de efectos principales.

Hipótesis General: H₀: ( )

Ajuste del Modelo Lineal (ANOVA)

mod <- lm(DATA ~ BLOQUE + MEDICAMENTO + SEXO + MEDICAMENTO * SEXO)
summary(aov(mod))

Validación de Supuestos y Estadísticos Descriptivos

Homogeneidad de Varianza

Utilizamos la librería car para realizar el test de varianza constante:

library(car)
ncvTest(mod)

Cálculo del Coeficiente de Variación (CV)

prom <- mean(DATA)
CV <- (sqrt(37.2) / prom) * 100

Interpretación de Efectos Principales

A partir del cuadro de ANVA (Análisis de Varianza):

Hipótesis: H₀: α_i = 0 vs H₁: α_i ≠ 0 para al menos un i = 1, 2, 3, 4.

Resultado: Dado que el p-value = 0.000175 < 0.05, se rechaza H₀. Por lo tanto, se concluye que al menos uno de los tipos de medicamentos tiene un efecto significativo en la presión sanguínea de las personas.

Prueba de Diferencia Mínima Significativa (DLS)

Para comparar las medias de los medicamentos A2 y A3:

Hipótesis: H₀: μ_2.. = μ_3.. vs H₁: μ_2.. ≠ μ_3..

Nota: b = cantidad de bloques, q = cantidad de niveles del factor.

Fórmula: DLS = t(1 - α/2, gl) * sqrt(2 * CME / qb)

qt(0.975, 21)
DLS <- (2.0796) * (sqrt(2 * (37.2) / (2 * 4)))
# DLS = 6.34

Comparación de Promedios

Diferencia de promedios (calculada en Excel): |promedio y₂ - promedio y₃|

|147.25 - 148| = 0.75 < 6.34

Conclusión: No se rechaza la H₀. No existen diferencias significativas entre las medias de presión cuando se utilizan los medicamentos A2 y A3.

Estudio de Efectos Fijos

Análisis del Factor A en el nivel b1 (Ab1)

• H₀: μ_11. = μ_21. = μ_31. = μ
• H₁: Al menos un μ_i1. es distinto a los demás, para i = 1, 2, 3.

Análisis del Factor B en el nivel a1 (Ba1)

• H₀: μ_11. = μ_12. = μ_13. = μ
• H₁: Al menos un μ_1j. es distinto a los demás, para j = 1, 2, 3.

Cálculo de Suma de Cuadrados (SC)

• Para Ab1: SCAb1 = (25.70^2 + 19^2 + 25^2) / 4 - 69.70^2 / 12
• Para Ba1: SCBa1 = (25.7^2 + 27.8^2 + 19.10^2) / 4 - 72.6^2 / 12

Decisión Estadística

Para Ab1, utilizando qf(0.95, 2, 24): Si F_tab < F_cal, se rechaza la hipótesis y el efecto es significativo.

Conclusión: Con un nivel de significación de 0.05, se rechaza la H₀. Se concluye que con al menos uno de los tipos de batería se obtiene un promedio del tiempo de duración (en horas) distinto a los demás, considerando solo la temperatura de 20 grados centígrados.

Contraste de Hipótesis Específico

• H₀: μ₁₂ - μ₁₁ = 0.1667
• H₁: μ₁₂ - μ₁₁ ≠ 0.1667
• Nivel de significación (ns) = 0.05

tc <- ((6.95 - 6.425) - 0.1667) / sqrt(2 * 0.1171 / 4)
qt(0.975, 24)
qt(0.025, 24)

Resultado final: No se rechaza H₀.