Métodos Numéricos, Matrices e Interpolación: Conceptos Fundamentales

Teorema del Valor Intermedio (TVI)

1. Definir f(x) y verificar el cambio de signo: f(xL) · f(xU) < 0.
2. Evaluar si f(x) es continua (polinomios, funciones seno o coseno).
3. Entonces, por el TVI, existe c ∈ [xL, xU] tal que f(c) = 0.
4. Evaluar en un subintervalo que sea la mitad del inicial o final, y seguir analizando según el paso 3.

Método de Bisección (Corte Binario)

1. Elegir valores iniciales: inferior xL y superior xU, de tal forma que la función cambie de signo.
2. Calcular el punto medio: xR = (xL + xU) / 2.
3. Evaluar el signo del producto f(xL) · f(xR):

• Si f(xL) · f(xR) < 0: La raíz está dentro del subintervalo izquierdo. Hacer xU = xR y volver al paso 2.
• Si f(xL) · f(xR) > 0: La raíz está en el subintervalo superior derecho. Hacer xL = xR y volver al paso 2.
• Si f(xL) · f(xR) = 0: La raíz es exactamente xR.

Método de la Falsa Posición

1. Elegir xL y xU tales que f(xL) · f(xU) < 0.
2. Calcular xR = xU - [f(xU) · (xL - xU)] / [f(xL) - f(xU)].
3. Repetir el proceso:

• Si f(xL) · f(xR) < 0: Hacer xU = xR.
• Si f(xL) · f(xR) > 0: Hacer xL = xR.
• Si f(xR) = 0: Raíz encontrada, detener el proceso.

Método de Newton-Raphson

1. Elegir un valor inicial x₀. Hallar f(x) y su derivada f'(x).
2. Calcular la aproximación: x_{i+1} = x_i - [f(x_i) / f'(x_i)].
3. Establecer x_i = x_{i+1} y repetir el paso 2 hasta cumplir el criterio de parada.
4. Devolver x_i como la raíz aproximada.
Nota: Si el problema pide máximos o mínimos, se debe igualar f'(x) = 0.

Método de la Secante

Fórmula de iteración: x_{i+1} = x_i - [f(x_i) · (x_{i-1} - x_i)] / [f(x_{i-1}) - f(x_i)].

Método de Punto Fijo

1. Transformar f(x) = 0 en la forma x = g(x).
2. Elegir un valor inicial x₀.
3. Calcular las iteraciones: x₁ = g(x₀), x₂ = g(x₁), ...
4. Si la serie {x₁, x₂, ...} converge, entonces x_n es la aproximación al cero de f(x).
Condiciones de convergencia:

• Suficiente: Si |g'(x)| < 1 en la vecindad de la solución x*.
• Necesaria: Si |g'(x)| ≥ 1, el método podría no converger.

Matrices y Álgebra Lineal

Propiedades y Tipos de Matrices

• Simétrica: Aᵀ = A (donde aᵢⱼ = aⱼᵢ).
• Transpuesta: Cambio de filas por columnas. Propiedades: (AB)ᵀ = BᵀAᵀ y (k·A)ᵀ = k·Aᵀ.
• Matriz Inversa: A · A⁻¹ = I.
• Traza: Suma de los elementos de la diagonal principal.
• Triangular Superior: Ceros por debajo de la diagonal.
• Operaciones:
  • Escalar por Matriz: Multiplicar cada elemento por el escalar.
  • Suma: Deben ser del mismo orden; se suma elemento a elemento.
  • Producto: El número de columnas de A debe coincidir con las filas de B. Pᵢⱼ = Σ (aᵢₖ · bₖⱼ). Nota: AB ≠ BA.
  • Identidades: (A+B)² = A² + AB + BA + B². Si AB = BA, entonces (A+B)² = A² + 2AB + B².

Sistemas de Ecuaciones Lineales (Ax = B)

1. Ordenar el sistema y pasar a forma matricial: A · X = B.
2. Descomposición LU:

• Reescribir Ax = B como LUx = B.
• Hallar U mediante eliminación (matriz triangular superior).
• Hallar L (matriz triangular inferior) con los multiplicadores utilizados (ej. si se usa F2 - 2F1, L₂₁ = 2).
• Resolver Ly = B y luego Ux = y.

Despeje de Matrices

No simplificar arbitrariamente; factorizar a la derecha o a la izquierda según corresponda.

Interpolación Polinómica

Interpolación de Newton

1. Tomar el primer intervalo (x₀, y₀) y definir P₀(x) = y₀.
2. Tomar (x₀, y₀) y (z, w) para definir: P₁(x) = P₀(x) + K₁(x - x₀). Hallar K₁ para que cumpla con los puntos.
3. Para tres puntos: P₂(x) = P₁(x) + K₂(x - x₀)(x - z).
4. Al llegar al último intervalo, mostrar el polinomio de forma expandida.

Polinomio de Interpolación de Lagrange

Para puntos (x₀, y₀), (x₁, y₁), (x₂, y₂):
P(x) = L₀(x)y₀ + L₁(x)y₁ + L₂(x)y₂.
Ejemplo con (1,2), (3,5), (4,3):

• L₀ = [(x - x₂)(x - x₁)] / [(x₀ - x₂)(x₀ - x₁)]
• L₁ = [(x - x₂)(x - x₀)] / [(x₁ - x₂)(x₁ - x₀)]
• L₂ = [(x - x₀)(x - x₁)] / [(x₂ - x₀)(x₂ - x₁)]

Si x=1 → L₀=1, L₁=0, L₂=0.
P(x) = 2(L₀) + 5(L₁) + 3(L₂). Expresar en forma expandida.

Reglas de Derivación

• (c)' = 0
• (uⁿ)' = n · uⁿ⁻¹ · u'
• (eᵘ)' = eᵘ · u'
• (aᵘ)' = aᵘ · ln(a) · u'
• (ln u)' = u' / u
• (logₐ u)' = u' / (u · ln a)
• (sin u)' = cos u · u'
• (cos u)' = -sin u · u'
• (tan u)' = sec² u · u'
• (cot u)' = -csc² u · u'
• (sec u)' = sec u · tan u · u'
• (csc u)' = -csc u · cot u · u'
• (sqrt(u))' = u' / (2 · sqrt(u))
• (1/u)' = -u' / u²
• (1/uⁿ)' = -n · u' / uⁿ⁺¹
• (u/v)' = (u'v - uv') / v²
• (uv)' = u'v + uv'
• (arcsin u)' = u' / sqrt(1 - u²)
• (arccos u)' = -u' / sqrt(1 - u²)