Métodos Numéricos para Encontrar Raíces de Ecuaciones

Algoritmos y Raíces de Ecuaciones

Definición de Algoritmo

Un algoritmo es un conjunto de instrucciones o reglas definidas y no ambiguas, ordenadas y finitas que permite solucionar un problema.

Definición de Raíz de una Ecuación

La raíz de una ecuación es aquel valor de la variable independiente que hace que el resultado de la ecuación sea cero o por lo menos se acerque a cero con un cierto grado de aproximación deseado.

Métodos Numéricos

Método de Euler

El método de Euler consiste en encontrar iterativamente la solución de una ecuación diferencial de primer orden con valores iniciales conocidos para un rango de valores. Para aplicarlo, se toma la pendiente al inicio del intervalo como una aproximación de la pendiente promedio sobre todo el intervalo. Partiendo de un valor inicial x₀, se pueden presentar dos tipos de errores:

• Errores de truncamiento: originados por la naturaleza de las técnicas empleadas para aproximar los valores de y.
• Errores de redondeo: causados por el número limitado de cifras significativas que una computadora puede retener.

Método de Euler Modificado

El método de Euler modificado consiste en tomar las fórmulas del método de Euler para calcular la pendiente en un punto inicial y en un punto final, y luego promediarlas. De esta manera, el resultado será mucho más acertado a lo largo de todo el intervalo.

Métodos para Encontrar Raíces

Métodos Cerrados

Los métodos cerrados requieren de un intervalo de valores de la variable independiente [a, b] donde se sabe que la función cambia de signo. Un ejemplo es el método de la regla falsa, que divide el intervalo por la mitad y evalúa la función en el punto medio c. Dependiendo del signo del valor obtenido, se reemplaza el extremo correspondiente del intervalo [a, b] con el punto medio c. Este proceso se repite iterativamente hasta que se alcanza una aproximación deseada de la solución.

Métodos Abiertos

Los métodos abiertos se basan en fórmulas que requieren únicamente de un solo valor de inicio, o un par de ellos, pero que no necesariamente deben encerrar a la raíz. Un ejemplo es el método de Newton-Raphson, un algoritmo iterativo que utiliza la derivada de la función para encontrar aproximaciones de las raíces. La fórmula iterativa es: x₁ = x₀ - f(x₀) / f'(x₀), donde f'(x₀) es la derivada de la función evaluada en x₀. Se repite la fórmula usando el último valor de x en cada iteración hasta que se cumpla un criterio de convergencia.

Métodos Globales y Locales

Los métodos globales utilizan toda la muestra para estimar el valor en cada nuevo punto, mientras que los métodos locales solo utilizan los puntos más cercanos.

Interpolación y Extrapolación

La extrapolación es proyectar datos más allá del rango disponible, mientras que la interpolación matemática es un proceso mediante el cual se calcula un valor en un punto dado, dentro de un conjunto de datos conocidos.

Polinomio de Interpolación

El polinomio de interpolación es una técnica para interpolar un conjunto de datos o una función por un polinomio. Es decir, dado cierto número de puntos obtenidos por muestreo, se busca un polinomio que pase por todos los puntos. Es aplicable para problemas de diferenciación en general y cálculos de derivadas en particular.

Derivación Numérica

La derivación numérica consiste en evaluar la derivada de una función a partir de valores numéricos de dicha función. Geométricamente, se pueden considerar tres variantes:

• Fórmula avanzada: se toma el punto x donde queremos calcular la derivada y un punto más adelantado: [f(x + h) - f(x)] / h
• Fórmula atrasada: se toma el punto x donde queremos calcular la derivada y un punto más atrasado: [f(x) - f(x - h)] / h
• Fórmula centrada: se toma el punto x y se toman dos puntos, uno a la izquierda: [f(x - h) - f(x - h)] / h, y otro a la derecha: [f(x + h) - f(x + h)] / h