Métodos de Interpolación, Cálculo Diferencial e Integral

Interpolación de Newton

1. Tomar el primer intervalo (x0, y0) y definir el polinomio: P0(x) = y0. Como P(x) debe cumplir P(1) = 2, implica que:

2. Tomar (x0, y0) y (z, w) y definir: P1(x) = P0(x) + K1(x - x0). Si x = 3, entonces L0 = 0, L1 = 1, L2 = 0.

Si tabulamos x1 y cumple, para que cumpla (z, w) hallar K1.

3. Tomar (x0, y0), (z, w) y (x1, x1) definiendo: P2(x) = P1(x) + K2(x - x0)(x - z).

4. Al llegar al último intervalo, mostrar de forma expandida.

Polinomio de Interpolación de Lagrange

Dados (x0, y0), (x1, y1), (x2, y2) donde x0 < x1 < x2, el polinomio es P(x) = L0(x)y0 + L1(x)y1 + L2(x)y2.

• L0 = (x - x2)(x - x1) / (x0 - x2)(x0 - x1)
• L1 = (x - x2)(x - x0) / (x1 - x2)(x1 - x0)
• L2 = (x - x0)(x - x1) / (x2 - x0)(x2 - x1)

Ejemplo: (1, 2), (3, 5), (4, 3) -> P(x) = 2L0 + 5L1 + 3L2.

Interpolación Spline

1er Grado

Si(x) = ai(x - xi) + bi. Se trazan rectas entre (xi-1, yi-1) y (xi, yi).

2do Grado

Si(x) = ai(x - xi)^2 + bi(x - xi) + ci.

3er Grado

Si(x) = ai(x - xi)^3 + bi(x - xi)^2 + ci(x - xi) + di.

Condiciones de suavidad: Igualación de derivadas S'i(xi+1) = S'i+1(xi+1) y S''i(xi+1) = S''i+1(xi+1).

Cálculo: Derivadas e Integrales

Derivadas Fundamentales

• (c)' = 0
• (u^n)' = n * u^(n-1) * u'
• (e^u)' = e^u * u'
• (ln u)' = u'/u
• (sin u)' = cos u * u'
• (cos u)' = -sin u * u'
• (tan u)' = sec^2 u * u'

Integrales Fundamentales

• ∫ dx = x + C
• ∫ x^n dx = (x^(n+1)) / (n+1) + C
• ∫ e^x dx = e^x + C
• ∫ 1/x dx = ln|x| + C
• ∫ sen(x) dx = -cos(x) + C
• ∫ cos(x) dx = sen(x) + C

Métodos de Integración

1. Sustitución: u = g(x), du = g'(x)dx.
2. Por Partes: ∫ u dv = u·v - ∫ v du.