Métodos Fundamentales de Factorización Algebraica

Factor Común

Este caso se utiliza cuando en todos los términos existe un elemento que se repite, ya sea un número, una letra o ambos. El procedimiento consiste en extraer dicho factor fuera del paréntesis. Por ejemplo, en 6x + 12x², ambos términos comparten 6x, resultando en 6x(1 + 2x). Se reconoce porque todos los términos poseen un elemento común.

Factor Común por Agrupación

Este método se aplica cuando no es posible extraer un factor común de toda la expresión, pero sí de grupos de términos. Generalmente se presenta en polinomios de 4 términos. El proceso implica agrupar de a dos y extraer el factor común en cada grupo. Si los paréntesis resultantes son idénticos, se puede continuar factorizando. Ejemplo: ax + ay + bx + by. Al agrupar: (ax + ay) + (bx + by), extraemos factor común: a(x + y) + b(x + y), obteniendo como resultado final (a + b)(x + y). Se identifica por la aparición de paréntesis iguales.

Diferencia de Cuadrados

Este caso consta de solo 2 términos, separados por un signo menos, donde ambos poseen raíz cuadrada exacta. La fórmula es:

a² - b² = (a - b)(a + b)

Ejemplo: x² - 9. Dado que la raíz de x² es x y la raíz de 9 es 3, el resultado es (x - 3)(x + 3). Se reconoce por ser una resta entre cuadrados perfectos.

Trinomio Cuadrado Perfecto

Este caso presenta 3 términos. El primero y el último poseen raíz exacta, y el término central corresponde al doble producto de dichas raíces. La fórmula es:

a² + 2ab + b² = (a + b)²

Ejemplo: x² + 6x + 9. La raíz de x² es x, la de 9 es 3, y 2 · x · 3 = 6x; por lo tanto, queda (x + 3)². Se reconoce porque el término central coincide con el doble producto.

Trinomio Simple

Este caso tiene 3 términos y el primero es simplemente x², sin coeficiente numérico. Se deben buscar dos números que multiplicados den el último término y sumados den el término central. Ejemplo: x² + 5x + 6. Los números son 2 y 3, ya que 2 · 3 = 6 y 2 + 3 = 5. El resultado es (x + 2)(x + 3). Se reconoce porque el primer término no tiene coeficiente.

Trinomio General

Es similar al anterior, pero el primer término posee un coeficiente. Primero se multiplica el primer número por el último término y luego se buscan dos números que multiplicados den ese resultado y sumados den el término central. Ejemplo: 2x² + 7x + 3. Multiplicamos 2 · 3 = 6. Buscamos dos números que den 6 y sumen 7: son 6 y 1. Luego, se separa el término central y se factoriza por agrupación hasta llegar a (2x + 1)(x + 3). Se reconoce porque el primer término tiene coeficiente.

Suma de Cubos

Este caso tiene 2 términos, un signo más y ambos son cubos perfectos. La fórmula es:

a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)

Ejemplo: x³ + 8. Como 8 = 2³, el resultado es (x + 2)(x² - 2x + 4). Se reconoce porque hay una suma entre cubos perfectos.

Diferencia de Cubos

Es análogo al anterior, pero con signo menos. La fórmula es:

a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)

Ejemplo: x³ - 8. Como 8 = 2³, el resultado es (x - 2)(x² + 2x + 4). Se reconoce porque hay una resta entre cubos perfectos.