Metodo simplex

Transformar del modelo primal al modelo dual
·El #de restricciones del modelo primal es igual al # de variables del modelo dual
·El # de variables del modelo primal es igual al # de restricciones del modelo dual
·Se cambia la FO si es Max a Min y de Min a Max
·Los coeficientes de las restricciones de cada (xi) del modelo primal son iguales a los coeficientes de las (yi) de la restricciones del modelo dual
·Los coeficientes de la FO de modelo dual son iguales a los miembros derechos de las restricciones del modelo primal
·Si la FO es Min en el modelo primal las restricciones del modelo dual son del tipo<= y viceversa
·Los coeficientes de la FO del modelo primal es igual a las restricciones del dual
·Yi pertenece a los reales

Método simplex dual
·Estandarización
<= s; >= -s; = r
·Donde este -s multiplico por -1
·Variables básicas
Z, S, R
·Despejar Z
·Armar la tabla con los valores del despeje de Z y los de la estandarización
·Sale: el mayor negativo de la columna solución
·Entra: el menor valor del resultado de la división de las variables no básicas de la fila Z/y las variables no básicas de la fila que sale descartando de esta ultima los valores positivos y el cero.
·Pivote: donde se intercepta la que sale con la que entra
·Renglón pivote: Divido toda la fila que entra entre el factor pivote y la coloco en la tabla
·Convierto en 0 todos los valores que estén por encima y por debajo de la fila que entra (fila que entra contra las otras filas) (Gauss Jordan)
·Cuando en la solución no hayan variables candidatas a entrar (valores negativos) saco la solución; si hay variables candidatas a entrar vuelvo a iterar

Método simplex
·Estandarización
<= s; >= -s, r; = r
·Variables básicas
Z, s, r
·Tabla
·Entra
FO Máx: entra la más negativa
FO Min: entra la más positiva
·Sale el menor valor del resultado de la división la columna solución/columna que entra descartando de esta ultima los valores negativos y el cero y el valor perteneciente a z.
·Pivote donde se intercepta la que sale con la que entra
·Renglón pivote: Divido toda la fila que entra entre el factor pivote y la coloco en la tabla
·Convierto en 0 todos los valores que estén por encima y por debajo de la fila que entra (fila que entra contra las otras filas) (Gauss Jordan)
·Cuando en z no hayan variables candidatas a entrar (FO MAX valor más negativo, FO MIN valor más positivo) saco la solución; si hay variables candidatas a entrar vuelvo a iterar

Análisis de sensibilidad
1-Cambios que afectan a la factibilidad
a-Cambios en los miembros derechos de las restricciones (se aplica el método simplex dual)
·Me dan una tabla, Me dan un modelo de programación lineal me dan los cambios en los miembros derechos
·Realizo el cambio
·Utilizo la siguiente fórmula: (Matriz inversa) *(vector de los miembros derechos de la restricción una vez realizados los cambios)=(nuevo vector de miembros derechos de la restricción)
Matriz inversa: son los valores de las S sin tomar en cuenta los de la fila Z y la columna solución
·Armar tabla cambiando los valores del nuevo vector de miembros derechos de la restricción en la columna solución; se calcula el nuevo valor de Z tomando en cuenta para ello los valores de las X que cambiaron y que están en la FO sustituyo dichos valores en la FO el resultado lo coloco en la columna solución de la fila Z
·Si hay valores negativos en la solución aplico el método simplex dual
b-Adicción de nuevas restricciones
·Tengo una tabla inicial
·Estandarizo la nueva restricción
·Realizo una nueva tabla sin llenarla de valores
·Agarro las filas X de las tablas que sean variables básicas y que aparezcan en la nueva restricción
·Despejo las X
·Sustituyo las X en la nueva restricción realizo los cálculos
·Introduzco los nuevos valores a la tabla
Si hay valores negativos en la solución aplico el método simplex dual
2-Cambios que afectan la optimidad
a-Cambios en los Coeficientes de la Función Objetivo
b-Cambio en el uso de los recursos (Coeficiente de las restricciones solo para variables no básicas):
·Me dan una tabla con las letras c, a1 y a2 en la columna de la variable a la que se le va a realizar el cambio, Me dan un modelo de programación lineal, me dan el cambio en el coeficiente de las restricción
·Nota
Las Y son precios sombra y son las S de la fila Z
Los coeficientes que van acompañar las Y son los que tienen la variable que le hizo el cambio en las restricciones (b coeficiente)
A C se le suma el coeficiente que tiene la variable que se le hizo en cambio en la FO
Si la FO es del tipo Max es >= y si es del tipo Min es <=
·Se monta la restricción dual asociada bY1+bY2 >= C+b
·Despejo C
·Para calcular a1 y a2 utilizo la siguiente fórmula:
(Matriz inversa) *(vector de coeficientes de la variable que se le hizo el cambio)= (vector de a1 y a2)
·Armo la tabla y sustituyo los valores de c, a1 y a2
·nota:
Si la FO es Max y C es negativa iteramos (Método simplex)
Si la FO es Max y C es positiva queda hasta hay
Si la FO es Min y C es negativa queda hasta hay
Si la FO es Min y C es positiva iteramos (Método simplex)
c-Adicción de nuevas actividades (variables):
·Me dan una tabla, Me dan un modelo de programación lineal, me dan el coeficiente de la nueva variable de la función objetivo y el coeficiente de esa misma variable en las restricciones
·Montar nuevamente el modelo de programación lineal agregando en la FO y las restricciones la nueva variable con sus respectivos coeficientes
·Montar la nueva tabla con la nueva variable en las columnas y colocando en esa columna c a1 y a2
·Nota
Las Y son precios sombra y son las S de la fila Z
Los coeficientes que van acompañar las Y son los que tienen la nueva variable agregada en las restricciones (b coeficiente)
A C se le suma el coeficiente que tiene la nueva variable en la FO
Si la FO es del tipo Max es >= y si es del tipo Min es <=
·Se monta la restricción dual asociada bY1+bY2 >= C+b
·Despejo C
·Para calcular a1 y a2 utilizo la siguiente fórmula:
(Matriz inversa) *(vector de coeficientes en las restricciones de la variable que se agrego)= (vector de a1 y a2)
·Armo la tabla y sustituyo los valores de c, a1 y a2
·nota:
Si la FO es Max y C es negativa iteramos (Método simplex)
Si la FO es Max y C es positiva queda hasta hay
Si la FO es Min y C es negativa queda hasta hay
Si la FO es Min y C es positiva iteramos (Método simplex)

Teoría:

ANALISIS DE SENSIBILIDAD:
CAMBIOS QUE AFECTAN LA FACTIBILIDAD:
Cambios en el lado derecho de las restricciones (recursos bj): Interesa determinar si las actuales variables básicas se mantienen luego de aumentar o disminuir uno o más valores en el lado derecho de las restricciones del modelo. Hay que calcular nuevamente la columna de recursos de la tabla simplex, si todos son positivos, la solución actual sigue siendo óptima pero cambiando los valores de las variables básicas y la función objetivo. Si algún valor se hace negativo se pierde la factibilidad, la cual se recupera utilizando el método simplex dual.
Inclusión de una nueva restricción: Hay que determinar si la actual solución básica óptima se mantiene después de incorporar una nueva restricción al problema. Se evaluá la solución actual para verificar si satisface la nueva restricción, en caso afirmativo, la actual solución básica también lo será aun cuando se incluya la nueva restricción (es una restricción redundante). En caso de no cumplirse la restricción, se incorpora la nueva restricción a la tabla final Simplex y se procede a las iteraciones necesarias para encontrar la nueva solución básica óptima (se utiliza el método simplex dual).

CAMBIOS QUE AFECTAN LA OPTIMIDAD:
Cambios en los Coeficientes de la Función Objetivo (Ci): El análisis consiste en identificar qué ocurre con la actual solución básica óptima en el caso que se cambien uno o varios de los coeficientes de la función objetivo. La actual solución óptima seguirá siéndolo en la nueva situación, siempre y cuando los costos reducidos correspondientes a los nuevos coeficientes, sean mayores o iguales a cero. El valor de la función objetivo cambia al cambiar los coeficientes en la nueva solución óptima.
Cambios en el uso de recursos por parte de las actividades (aij): Este cambio afecta la optimidad ya que afecta el lado izquierdo de las restricciones duales. El análisis se hace únicamente para las variables no básicas, ya que un cambio en los coeficientes de las variables básicas afecta la matriz inversa con la consiguiente complicación de cálculo. Si se pierde la optimidad, los cálculos para volver a obtenerla son los mismo que se hacen cuando se agrega una nueva variable o actividad.
Inclusión o introducción de una nueva variable o actividad: Se evaluá si la nueva variable hace un aporte significativo a la solución óptima del modelo original. Se pasa a calcular el costo reducido de la nueva variable, para decidir si la actual solución básica sigue siendo óptima en el problema aumentado con la nueva variable. La adición de una nueva actividad es equivalente a combinar el análisis de hacer cambios en la función objetivo y en el uso de los recursos.