Mecánica Celeste: El Problema de los 3 Cuerpos, N Cuerpos y Campo Gravitatorio

El Problema de los Tres Cuerpos (Restringido)

Enunciado y Condiciones

En este modelo, se asume que la masa del tercer cuerpo es despreciable en comparación con los otros dos astros:

M₀ ≥ M₁ >> M₂

Como consecuencia de esta premisa:

• El movimiento relativo de los dos cuerpos masivos (0 y 1) es kepleriano y describe una órbita circular.
• El sistema se estudia en un sistema de referencia no inercial rotatorio con origen en el cuerpo 0, cuyo eje x contiene al cuerpo 1 (el de masa intermedia).
• El eje Oz se define perpendicular al plano orbital 0-1.

Conservación de la Energía

Las fuerzas gravitatoria y centrífuga derivan de un potencial, mientras que la fuerza de Coriolis no produce trabajo al ser perpendicular a la velocidad. Dado que en ejes móviles estos potenciales son estacionarios, se conserva la energía total del sistema, lo que se conoce como la integral de Jacobi-Painlevé.

En el problema restringido de los tres cuerpos, expresado en ejes móviles fijos a ambos astros, esta constante representa la energía del tercer cuerpo (compuesta por la energía gravitatoria, centrífuga y cinética) y se mantiene invariable a lo largo de su movimiento.

Los Puntos de Lagrange

• Puntos colineales (L₁, L₂ y L₃): Se encuentran alineados con los cuerpos masivos y son siempre inestables.
• Puntos triangulares (L₄ y L₅): Son dos posiciones que forman un triángulo equilátero con los dos cuerpos masivos en el plano orbital. Estas posiciones son estables cuando el parámetro de masa cumple la condición α ≤ 0.038521. Esta condición de estabilidad se cumple con un amplio margen en el sistema Sol-Júpiter y de manera más ajustada en el sistema Tierra-Luna.

El Problema de los N Cuerpos

Planteamiento Matemático

Con respecto a un sistema de ejes inerciales, las N+1 ecuaciones del movimiento se definen de la siguiente manera:

Si establecemos el origen del sistema de referencia en el cuerpo primario (i = 0), los vectores de posición relativos a él se expresan como r_i = R_i - R₀, reduciendo el sistema a N ecuaciones:

De este planteamiento se deducen dos casos particulares:

• Si solo hay dos cuerpos (N = 1), no existen términos de perturbación.
• Si la masa de los planetas es despreciable frente al primario (M_i << M₀), se pueden ignorar sus masas en primera aproximación:

Perturbación por un Cuerpo Lejano

Considerando a j como el cuerpo perturbador externo:

En el desarrollo matemático, el segundo término se cancela con el segundo sumando de R_j del primer término, por lo que su gradiente es nulo. Para que este desarrollo resulte de utilidad práctica, debe cumplirse que r₁/r₂ << 1, de modo que las potencias de orden superior sean despreciables. Esto implica que el tercer cuerpo debe encontrarse a una distancia considerablemente grande en comparación con r₁.

• Para un satélite geoestacionario, basta con emplear un único término del desarrollo.
• Para el sistema de la Luna, se requieren dos términos.
• Para modelar un planeta perturbado por otro, se necesita calcular una gran cantidad de términos.

Esfera de Influencia

Este concepto permite comprender de forma cualitativa el movimiento de los astros basándose en el error relativo de las soluciones aproximadas cuando se ignora la perturbación de un tercer cuerpo.

Campo Gravitatorio Terrestre

El análisis del potencial gravitatorio de la Tierra revela las siguientes propiedades clave:

• El sumatorio comienza en l = 2 debido a que se toma el origen de coordenadas directamente en el centro de masas de la Tierra.
• El coeficiente armónico más significativo es J₂ &approx; 10^-3. El resto de los coeficientes son notablemente más pequeños, con valores del orden de ≤ 10^-6.
• Si la Tierra poseyera una simetría de revolución perfecta, el potencial no dependería de la longitud (λ), lo que anularía el segundo término (C_lm = S_lm = 0).
• Bajo la hipótesis de una rotación terrestre estable, el eje z coincidiría con el eje principal de inercia, haciendo que los productos de inercia P_xz = P_yz = 0. En consecuencia, los coeficientes C₂₁ = P_xz / (MR²) y S₂₁ = P_yz / (2MR²) serían nulos.
• Por razones de simetría respecto al plano ecuatorial, el potencial debe ser una función par respecto al seno de la latitud, lo que implica que los coeficientes zonales J_l = 0 para cualquier valor de l impar.