Maquinas y mecanismos

Cinemática

Movimiento relativo: La velocidad del punto P respecto al sistema de referencia Oxyz se denomina velocidad relativa. La velocidad que tendría el punto P respecto al sistema de referencia O1x1y1z1 si fuera un punto fijo respecto al sistema de referencia Oxyz se denomina velocidad de arrastre.(se definen igual las aceleraciones)

CENTRO INSTANTÁNEO DE ROTACIÓN.

Se define el centro instantáneo de rotación correspondiente al movimiento relativo de dos sólidos como el punto que, en cada instante, tiene la misma velocidad si se lo considera unido a un sólido o al otro. Si uno de los sólidos se considera fijo el centro instantáneo de rotación es el punto del otro sólido que, en cada instante tiene velocidad nula.

Se define la polar fija o basecomo el lugar geométrico del centro instantáneo de rotación respecto al sistema de referencia ligado al sólido que se considera fijo.

Se define la polar móvil o ruletacomo el lugar geométrico del centro instantáneo de rotación respecto al sistema de referencia ligado al sólido que se considera móvil.

La base y la ruleta tienen un punto común, el centro instantáneo de rotación para cada posición del sólido, son tangentes y su movimiento relativo es de rodadura pura sin deslizamiento.

GEOMETRIA DE MASAS

 G es el punto de aplicación de la resultante del sistema, punto al que se denomina centro de masas. Se denomina centro de gravedadde un sistema al punto de aplicación del vector equivalente al sistema formado por los pesos de todas sus partículas.

TEOREMAS DE GULDIN.

El primer teorema de Guldin se enuncia de la forma siguiente:

El área de la superficie engendrada por una curva plana que gira alrededor de un cierto eje coplanario con ella es igual a la longitud de la curva multiplicada por la longitud de la circunferencia que describe el centro de masas de la citada curva.

El segundo teorema de Guldin se enuncia de la forma siguiente:

El volumen del sólido engendrado por una superficie plana que gira alrededor de un cierto eje coplanario con ella es igual al área de la superficie multiplicada por la longitud de la circunferencia que describe el centro de masas de la citada superficie.

MOMENTO DE INERCIA DE UN CUERPO

Se define el momento de inercia de un sistema de partículas respecto a un punto, a un eje o a un plano como la suma de la masa de cada partícula por el cuadrado de su distancia al punto, al eje o al plano.

  STEINER:

El teorema de Steiner puede enunciarse parcialmente diciendo que el momento de inercia de un sólido respecto a un eje es igual al momento de inercia del citado sólido respecto a un eje paralelo al primero y que pasa por su centro de masas más el producto de la masa del sólido por el cuadrado de la distancia entre los ejes.

 STEINER:

El teorema de Steiner puede enunciarse parcialmente diciendo que el momento de inercia de un sólido respecto a un eje es igual al momento de inercia del citado sólido respecto a un eje paralelo al primero y que pasa por su centro de masas más el producto de la masa del sólido por el cuadrado de la distancia entre los ejes.

ESTÁTICA

Si el tiempo no aparece de forma explícita en esta ecuación la ligadura se denomina estacionaria. Si las velocidades de las partículas no aparecen en la ecuación de restricción la ligadura se denomina finita o geométrica. Una ligadura es holónoma si es finita (no depende de las velocidades de las partículas) o puede dar lugar por integración a una ligadura finita. En caso contrario la ligadura se denomina no holónoma.

Un sistema se denomina holónomo si todas sus ligaduras lo son y no holónomo si alguna de ellas no lo es. Un sistema holónomo se denomina esclerónomo si todas sus ligaduras son estacionarias (no dependen explícitamente del tiempo) y reónomo si alguna de dichas liga-duras no lo es.

RESISTENCIAS PASIVAS

Deslizamiento.- Se produce cuando la velocidad del punto de uno de los sólidos que está en contacto con el otro sólido, respecto a un sistema de referencia ligado a este último, no es nula.

Rodadura.- Se produce cuando la dirección de la velocidad angular de uno de los sóli-dos respecto al otro no coincide con la normal común a las superficies de los sólidos en el punto de contacto.

Pivotamiento.- Se produce cuando la dirección de la velocidad angular de uno de los sólidos respecto al otro no es tangente a las superficies de los sólidos en el punto de contacto.

DINÁMICA

Para llegar al enunciado del teorema de las fuerzas vivas se comienza por deter-minar el trabajo elemental realizado por las fuerzas exteriores aplicadas al sistema:

Resulta:

El teorema de las fuerzas vivas se enuncia diciendo que el trabajo realizado por las fuerzas exteriores aplicadas a un sistema se aplica a incrementar la energía cinética del citado sistema.

ECUACIONES DE NEWTON EULER

Para deducir las ecuaciones de Newton Euler correspondientes al movimiento de un sólido rígido se empieza por aplicar la segunda ley de Newton a una partícula cual-quiera del sólido:

Resulta, finalmente:

De esta ecuación se deduce que el centro de masas de un sistema, no es preciso que sea un sólido rígido, se mueve como si fuera una partícula material de masa igual a la del sistema y sobre la que actuaran todas las fuerzas exteriores que se aplican al sis-tema.

PRINCIPIO de D'ALEMBERT

Para llegar al principio de D’Alembert se recuerdan las ecuaciones de Newton Euler:

 F=maG ; M=LG

F-maG=0 ; M-LG=0

Si en estas ecuaciones:FI=-maG ; MI=LG

A FI=fuerza de Inerc. MI =par de Inerc. las ecuaciones Newton euler: F+FI=0; M-MI=0

El principio de D’Alembert se enuncia diciendo que el sistema de fuerzas exte-riores que actúa sobre un sistema es un sistema nulo si en dicho sistema de fuerzas se incluyen las fuerzas de inercia.

MEC.ANALÍTICA:

COORDENADAS GENERALIZADAS.

Se denomina coordenada generalizada a cualquier elemento de un conjunto de variables que permita definir la posición de un sistema.Si entre las coordenadas generalizadas no puede establecerse ninguna relación, como consecuencia de las restricciones que se imponen al movimiento del sistema se denominan independientes. En caso contrario se denominan dependientes.

ECUACI. DE RESTRICC.:MATRIZ JACOBIANA:

Las ecuaciones de restricción son las ecuaciones que deben cumplir las coordenadas generalizadas como consecuencia de las restricciones que se imponen al movimiento del sistema.

DESPLAZAMIENTOS VIRTUALES:

Se denomina desplazamiento virtual de un sistema a todo aquél que es compatible con los enlaces a que está sometido. Para desarrollar este concepto de desplazamiento virtual de un sistema se comienza por diferenciar las ecuaciones de restricción.

Si la diferenciación se realiza para un instante determinado, los diferenciales de las coordenadas generalizadas se denominan desplazamientos virtuales, se representan por el vector y deben cumplir la siguiente ecuación: [J]∂q=0.

Se indica que todo desplazamiento virtual de un sistema es un desplazamiento real del mismo, pero no todo desplazamiento real de un sistema es un desplazamiento virtual del mismo. El conjunto formado por los desplazamientos virtuales sólo coincide con el conjunto formado por los desplazamientos reales si las ecuaciones de restricción son independientes del tiempo.

TEOREMA DE LOS TRABAJOS VIRTUALES.

∑F.dr=0 Como el primer miembro de esta ecuación representa el trabajo realizado por las fuerzas exteriores a lo largo de un desplazamiento virtual del sistema, el teorema de los trabajos virtuales puede enunciarse diciendo que si un sistema está en equilibrio el trabajo desarrollado por las fuerzas exteriores aplicadas al mismo a lo largo de un desplazamiento virtual es nulo.

La ecuación de Lagrange es una forma de plantear las ecuaciones de movimiento de un sistema cualquiera. Para llegar a ella se considera un sistema formado por N partí-culas. Para definir la posición del sistema se emplea un conjunto de n coordenadas generalizadas.

ANALISIS DE MECANISMOS

Definiciones.Cadena cinemática. Es un conjunto de sólidos rígidos unidos entre sí de modo que seaposible el movimiento relativo entre ellos. Una cadena cinemática se considera plana silas trayectorias de todos sus puntos lo son y si, además, todos los planos que contienen adichas trayectorias son paralelos.Mecanismo. Es una cadena cinemática que cuenta con una barra fija. Esta barra se denominabastidor o bancada.Máquina. Según Reuleaux, es un conjunto de sólidos rígidos o resistentes, dispuestosde forma tal que por medio de ellos pueden transformarse las fuerzas mecánicas en trabajo,y se obtienen, además, unos movimientos determinados.Barra o eslabón. Es cada uno de los sólidos rígidos o resistentes que forman parte de una cadena cinemática o de una máquina.Par cinemático. Es la unión, con posibilidad de movimiento relativo, entre dos o más barras.(TIPOS:par cilíndrico,esférico ,de revolución, prismatico, de leva)Cadena cinemática cerrada. Es aquélla en la que todas sus barras cuentan, al menos, con dos pares cinemáticos.Cadena cinemática abierta. Es aquélla en la que al menos una de las barras que la forman sólo contiene un par cinemático.Cadena cinemática plana. Es aquélla en la que trayectoria de todos sus puntos es plana y, además, los planos correspondientes a las trayectorias de todos sus puntos son paralelos.

Criterio de Grübler.

El criterio de Grübler permite determinar el número de grados de libertad de un mecanismo. Para plasmar este criterio en una ecuación se considerarán de forma independientelos mecanismos planos y los espaciales. En ambos casos, se considera que elmecanismo consta de n barras, incluida la barra fija, y que pi es el número de pares de igrados de libertad existentes.

Leyes de Grashoff.

Las leyes de Grassoff permiten determinar si alguna de las barras de un cuadrilátero articulado, mecanismo formado por cuatro barras unidas entre sí por medio de

cuatro pares de revolución puede describir rotaciones completas respecto a las demás barras. La primera ley de Grashoff : la barra más corta de un cuadrilátero articulado puede describir rotaciones completas alrededor de la más larga y, por tanto, alrededor de cualquiera de las otras barras, si y sólo si la suma de las longitudes de la barra más corta y más larga es menor o igual que la suma de las longitudes de las otras dos.

La segunda ley de Grasshoff (Si cumple la primera) :Si la barra fija del mecanismo es la más corta, el mecanismo es de doble manivela.Si la barra fija es contigua a la más corta, el mecanismo es de manivela balancín.Si la barra fija es opuesta a la más corta el mecanismo será de doble balancín.

Ángulo de transmisión.Se define el ángulo de transmisión de un mecanismo como el ángulo que forman la dirección del movimiento absoluto de la barra de salida y la dirección del movimiento relativo de la barra transmisora con respecto a la de entrada.

Método de Raven.El método de Raven plantea el análisis cinemático de un mecanismo a partir deuna o varias ecuaciones de restricción que se denominan ecuaciones de cierre. Estas ecuaciones expresan que la suma de los vectores que representan a los lados de un polígono cerrado es nula. Se emplea, como ya se ha comentado, una coordenada generalizada para definir la posición de cada una de las barras que forman el mecanismo. Las ecuaciones de cierre son ecuaciones vectoriales que se expresan empleando la notación compleja.

Sistemas equivalentes.Se trata de sustituir, a efectos de cálculo, un sólido rígido con movimiento planopor otro sistema equivalente más fácil de manejar. Dado que la ecuación de Lagrange se basa en la energía cinética, se pondrá como condición que los valores de dicha magnitud sean iguales para el sólido rígido y para su sistema equivalente.

Método de las masas y fuerzas reducidas.El método de las masas y fuerzas reducidas no es más que una adaptación de la ecuación de Lagrange al análisis dinámico de mecanismos planos de un grado de libertad.

DINÁMICA DE SISTEMAS

EQUILIBRADO DE MECANISMOS.

Se dice que un mecanismo está equilibrado si las fuerzas que transmite a sus apoyos son las mismas tanto si el citado mecanismo se mueve o permanece en reposo. Para establecer las condiciones que debe cumplir un mecanismo para que se considere equilibrado se parte de las ecuaciones de Newton Euler. Si G es el centro de masas del mecanismo y la resultante de las fuerzas aplicadas al mismo como consecuencia del movimiento,

 EQUILIBRADO DE ROTORES.

Un rotor es un cuerpo cuyo movimiento es una rotación. Se considera que el eje de la citada rotación es fijo respecto a un sistema de referencia inercial.

Un rotor se considera equilibrado si las reacciones en sus apoyos no dependen del estado de reposo o movimiento del mismo.

Para determinar las condiciones que debe cumplir un rotor para estar equilibrado se admite que el citado rotor es un sólido rígido.

El eje de rotación del rotor se hará coincidir tanto con el eje Oz1 del sistema de referencia inercial como con el eje Oz del sistema de referencia ligado al sólido. Se ad-mite, además, que la velocidad angular del rotor es constante.

VOLANTES DE INERCIA.

Un volante de inercia es un dispositivo capaz de almacenar energía cinética y se emplea para atenuar las fluctuaciones en la velocidad de rotación del eje de una máquina. Estas fluctuaciones tienen su origen en las alteraciones que pueden sufrir, durante un ciclo de funcionamiento, el par motor correspondiente al dispositivo de accionamiento de la máquina, el par resistente que tiene su origen en la función que realiza la máquina o ambos a la vez.