Maple algebra
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a) Matriz asociada a f en la base B. Hallar el rango y el núcleo de f.
> A:=matrix([[3, -2, -2], [-2, 3, -1/3], [-2, -1/3, 3]]);
El rango de f es:
> rank(A);
El núcleo son las soluciones de AX=0.
> vcero:=vector([0,0,0]);
> linsolve(A,vcero);
Las ecuaciones paramétricas del núcleo son (x1,x2,x3)=(4/3 a,a,a)
El nucleo es un subespacio de dimension 1, que tiene por ecuaciones cartesianas (respecto de la base B):
b) subespacio conjugado del vector u.
Es el conjunto de vectores z =( ) que cumplen que f(u,z)=0.
> matrix(1,3,[1,0,0])&*A&*matrix(3,1,[y1,y2,y3]);
> evalm(%)[1,1]=0;
El subespacio conjugado de u tiene por ecuacion cartesiana:
''es un plano'' 0=
c) Subespacio conjugado del plano x+y+z=0.
Elijo una base del plano: { (1,-1,0) , (0,1,-1) } y calculo los subespacios conjugados de cada uno de los vectores de la base.
> v1:=[1,-1,0];v2:=[0,1,-1];
ecu1:=evalm(matrix(1,3,v1)&*A&*matrix(3,1,[y1,y2,y3]))[1,1]=0;
ecu2:=evalm(matrix(1,3,v2)&*A&*matrix(3,1,[y1,y2,y3]))[1,1]=0;
solve({ecu1,ecu2},{y1,y2,y3});
Hemos obtenido una recta: y1=4/3 a, y2=a, y3= a. .
d) Vectores autoconjugados.
Comprobamos si los vectores verifican.
> matrix(1,3,[x1,x2,x3])&*A&*matrix(3,1,[x1,x2,x3])=0;
> w1:=[4,3,3];w2:=[5,3,3];
> evalm(matrix(1,3,w1)&*A&*matrix(3,1,w1));
> evalm(matrix(1,3,w2)&*A&*matrix(3,1,w2));
Por tanto el vector w1=(4,3,3) es autoconjugado respecto de la forma bilineal dada pero w2 no.
e) Base B' de vectores conjugados. B'={e1 , e2, e3}
> e1:=[1,0,0];
> evalm(matrix(1,3,e1)&*A&*matrix(3,1,e1))[1,1];
No es autoconjugado, nos sirve.
> conju1:=evalm(matrix(1,3,e1)&*A&*matrix(3,1,[y1,y2,y3]))[1,1]=0;
e2 tiene que pertenecer al subespacio conjugado de e1.
> solve(conju1);
> e2:=[1,1/2,1];
Subespacio conjugado de e2:
> conju2:=evalm(matrix(1,3,e2)&*A&*matrix(3,1,[y1,y2,y3]))[1,1]=0;
e3 tiene que pertenecer a conju1 y a conju2:
> solve({conju1,conju2},{y1,y2,y3});
> e3:=[4/3,1,1];
La base de vectores conjugados es
> {e1=evalm(e1),e2=evalm(e2),e3=evalm(e3)};
f) Matriz D asociada a f respecto de la base B'
> evalm(e1&*A&*e1);
> evalm(e2&*A&*e2);
> evalm(e3&*A&*e3);
> D1:=diag(3,5/12,0);
g) Hallar la matriz de cambio P tal que D=P^t AP
matriz de cambio de B' a B
P:=transpose(matrix([e1,e2,e3]));
> evalm(transpose(P)&*A&*P);
A=Q^t D1 Q
> Q:=inverse(P);
> evalm(transpose(Q)&*D1&*Q);evalm(A);
h) Ya hemos diagonaliozado ''por congruencia '' la matriz A, y hemos obtenido una matriz diagonal D1:
> evalm(D1);
Como el rango es 2 y la signatura tambien es (2,0), podemos concluir que la forma cuadratica asociada a f es SEMIDEFINIDA POSITIVA.
> charpoly(A, lambda);
> eigenvalues(A);
> eigenvectors(A);
> A:=matrix([[3, -2, -2], [-2, 3, -1/3], [-2, -1/3, 3]]);
El rango de f es:
> rank(A);
El núcleo son las soluciones de AX=0.
> vcero:=vector([0,0,0]);
> linsolve(A,vcero);
Las ecuaciones paramétricas del núcleo son (x1,x2,x3)=(4/3 a,a,a)
El nucleo es un subespacio de dimension 1, que tiene por ecuaciones cartesianas (respecto de la base B):
b) subespacio conjugado del vector u.
Es el conjunto de vectores z =( ) que cumplen que f(u,z)=0.
> matrix(1,3,[1,0,0])&*A&*matrix(3,1,[y1,y2,y3]);
> evalm(%)[1,1]=0;
El subespacio conjugado de u tiene por ecuacion cartesiana:
''es un plano'' 0=
c) Subespacio conjugado del plano x+y+z=0.
Elijo una base del plano: { (1,-1,0) , (0,1,-1) } y calculo los subespacios conjugados de cada uno de los vectores de la base.
> v1:=[1,-1,0];v2:=[0,1,-1];
ecu1:=evalm(matrix(1,3,v1)&*A&*matrix(3,1,[y1,y2,y3]))[1,1]=0;
ecu2:=evalm(matrix(1,3,v2)&*A&*matrix(3,1,[y1,y2,y3]))[1,1]=0;
solve({ecu1,ecu2},{y1,y2,y3});
Hemos obtenido una recta: y1=4/3 a, y2=a, y3= a. .
d) Vectores autoconjugados.
Comprobamos si los vectores verifican.
> matrix(1,3,[x1,x2,x3])&*A&*matrix(3,1,[x1,x2,x3])=0;
> w1:=[4,3,3];w2:=[5,3,3];
> evalm(matrix(1,3,w1)&*A&*matrix(3,1,w1));
> evalm(matrix(1,3,w2)&*A&*matrix(3,1,w2));
Por tanto el vector w1=(4,3,3) es autoconjugado respecto de la forma bilineal dada pero w2 no.
e) Base B' de vectores conjugados. B'={e1 , e2, e3}
> e1:=[1,0,0];
> evalm(matrix(1,3,e1)&*A&*matrix(3,1,e1))[1,1];
No es autoconjugado, nos sirve.
> conju1:=evalm(matrix(1,3,e1)&*A&*matrix(3,1,[y1,y2,y3]))[1,1]=0;
e2 tiene que pertenecer al subespacio conjugado de e1.
> solve(conju1);
> e2:=[1,1/2,1];
Subespacio conjugado de e2:
> conju2:=evalm(matrix(1,3,e2)&*A&*matrix(3,1,[y1,y2,y3]))[1,1]=0;
e3 tiene que pertenecer a conju1 y a conju2:
> solve({conju1,conju2},{y1,y2,y3});
> e3:=[4/3,1,1];
La base de vectores conjugados es
> {e1=evalm(e1),e2=evalm(e2),e3=evalm(e3)};
f) Matriz D asociada a f respecto de la base B'
> evalm(e1&*A&*e1);
> evalm(e2&*A&*e2);
> evalm(e3&*A&*e3);
> D1:=diag(3,5/12,0);
g) Hallar la matriz de cambio P tal que D=P^t AP
matriz de cambio de B' a B
P:=transpose(matrix([e1,e2,e3]));
> evalm(transpose(P)&*A&*P);
A=Q^t D1 Q
> Q:=inverse(P);
> evalm(transpose(Q)&*D1&*Q);evalm(A);
h) Ya hemos diagonaliozado ''por congruencia '' la matriz A, y hemos obtenido una matriz diagonal D1:
> evalm(D1);
Como el rango es 2 y la signatura tambien es (2,0), podemos concluir que la forma cuadratica asociada a f es SEMIDEFINIDA POSITIVA.
> charpoly(A, lambda);
> eigenvalues(A);
> eigenvectors(A);