Lògica Proposicional: Conceptes, Connectors i Taules de Veritat
Enviado por Comunidad Xuletas y clasificado en Filosofía y ética
Escrito el en 
catalán con un tamaño de 14,87 KB
Lògica Proposicional (o d'Enunciats)
1. Què Analitza la Lògica Proposicional?
Analitza les relacions que es donen entre els enunciats (o proposicions) quan construïm una argumentació.
Definició d'Enunciat
Un enunciat és una oració declarativa que pot ser veritable o falsa.
- Exemples: Plou (veritable o fals) / Avui és dimarts i som a classe de filosofia.
Tipus d'Enunciats
Els enunciats es classifiquen en dos tipus:
- Simples (atòmics)
- Complexos (moleculars), formats per connectors: i, o, però, no, si... aleshores, etc.
2. Quin és l'Objectiu Principal?
Comprovar els valors de veritat d’un enunciat complex: determinar quan és veritable i quan és fals.
- Exemple 1: Avui és dimarts i som a classe de filosofia (totes dues poden ser veritables o falses).
- Exemple 2: Dinaré verdura o dinaré pollastre (totes dues poden ser veritables o falses).
Regles de Veritat per a Connectors
Quan dos enunciats estan connectats amb la conjunció (i), el seu valor de veritat només serà veritable si tots dos són veritables.
Quan dos enunciats estan connectats amb la disjunció (o), seran veritables si una o totes dues proposicions es compleixen. Si cap es compleix, serà fals.
Taula de Veritat Bàsica (Conjunció i Disjunció)
i (∧) | o (∨) | |
Dos enunciats veritables (V, V) | V | V |
Un enunciat veritable i un fals (V, F) | F | V |
Un enunciat fals i un veritable (F, V) | F | V |
Dos enunciats falsos (F, F) | F | F |
3. Com es Construeixen les Fórmules Lògiques?
Convertirem les proposicions en fórmules (regles de formació) que es resolen donant un resultat (regles de transformació).
Tipus de Símbols
S'utilitzen dos tipus de símbols principals:
- Variables proposicionals: Substitueixen els enunciats (p, q, r, s, t).
- Operadors o constants lògiques: Són els connectors entre proposicions.
Llista d'Operadors Lògics
- Negador: ᆨ (no)
- Conjuntor: ∧ (i, però)
- Disjuntor: ∨ (o)
- Condicional: → (si... aleshores)
- Bicondicional: ↔ (si i només si)
També s'utilitzen símbols auxiliars: parèntesis (...) i claudàtors [...].
4. Funcions de Veritat de les Connectives
En les taules de veritat, utilitzem la següent notació:
- 1 → Veritable (V)
- 0 → Fals (F)
Tipus de Resultats de les Fórmules
- Tautologia: Els seus valors de veritat són 1 en tots els casos.
- Contradicció: Els seus valors de veritat són 0 en tots els casos.
- Indeterminació: Els seus valors de veritat són 1 en alguns casos i 0 en uns altres.
Exemples d'Inferència: Modus Ponens i Fal·làcia
Aquests exemples il·lustren formes d'argumentació:
Modus Ponens (Vàlid)
p → q p --- q
Fal·làcia (No vàlid)
p → q q --- p
Taules de Veritat Detallades dels Connectors
Negador (ᆨ)
Exemple: ᆨ “no plou”
P | ᆨP |
1 | 0 |
0 | 1 |
Conjuntor (∧)
Exemple: “Avui és dilluns ∧ som a classe de filosofia”
P | Q | P ∧ Q |
1 | 1 | 1 |
1 | 0 | 0 |
0 | 1 | 0 |
0 | 0 | 0 |
Disjuntor (∨)
Exemple: “Dinaré verdura ∨ pollastre”
P | Q | P ∨ Q |
1 | 1 | 1 |
1 | 0 | 1 |
0 | 1 | 1 |
0 | 0 | 0 |
Condicional (→)
Exemple: “Si véns a casa, aleshores jugarem a la Play”
P | Q | P → Q |
1 | 1 | 1 |
1 | 0 | 0 |
0 | 1 | 1 |
0 | 0 | 1 |
Bicondicional (↔)
Exemple: “Si i només si véns a casa, aleshores jugarem a la Play”
P | Q | P ↔ Q |
1 | 1 | 1 |
1 | 0 | 0 |
0 | 1 | 0 |
0 | 0 | 1 |
Exemples de Classificació de Fórmules
Fórmula 1: Indeterminació
Fórmula: (P ∧ Q) ↔ (P ∨ Q)
P | Q | P ∧ Q | P ∨ Q | (P ∧ Q) ↔ (P ∨ Q) |
1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
1 | 0 | 0 | 1 | 0 |
0 | 1 | 0 | 1 | 0 |
0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
→ Indeterminació
Fórmula 2: Tautologia
Fórmula: [(P ∨ Q) ∧ Q] → Q
P | Q | P ∨ Q | (P ∨ Q) ∧ Q | [(P ∨ Q) ∧ Q] → Q |
1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
1 | 0 | 1 | 0 | 1 |
0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
→ Tautologia
Fórmula 3: Contradicció
Fórmula: (P → Q) ∧ ᆨ (P → Q)
P | Q | P → Q | ᆨ (P → Q) | (P → Q) ∧ ᆨ (P → Q) |
1 | 1 | 1 | 0 | 0 |
1 | 0 | 0 | 1 | 0 |
0 | 1 | 1 | 0 | 0 |
0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
→ Contradicció
Fórmula 4: Indeterminació
Fórmula: (ᆨ P → Q) ∧ (P → ᆨ Q)
P | Q | ᆨP | ᆨQ | ᆨP → Q | P → ᆨQ | (ᆨ P → Q) ∧ (P → ᆨ Q) |
1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 |
0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 |
→ Indeterminació
Fórmula 5: Indeterminació
Fórmula: (P ∨ Q) → (P → Q)
P | Q | P ∨ Q | P → Q | (P ∨ Q) → (P → Q) |
1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
1 | 0 | 1 | 0 | 0 |
0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
→ Indeterminació
Fórmula 6: Indeterminació
Fórmula: (ᆨ P ∨ Q) → ᆨ (P → Q)
P | Q | ᆨP | ᆨP ∨ Q | P → Q | ᆨ (P → Q) | (ᆨ P ∨ Q) → ᆨ (P → Q) |
1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 |
1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 |
0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 |
Fórmula 7: Tautologia
Fórmula: [(P → Q) ∧ (P ∧ ᆨ Q)] → Q
P | Q | ᆨQ | P → Q | P ∧ ᆨQ | (P → Q) ∧ (P ∧ ᆨQ) | [(P → Q) ∧ (P ∧ ᆨ Q)] → Q |
1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 |
1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 |
0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 |
0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 |
→ Tautologia
Fórmula 8: Exemple amb Tres Variables
Fórmula: (P ∧ Q) ∨ R
P | Q | R | P ∧ Q | (P ∧ Q ) ∨ R |
1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
1 | 1 | 0 | 1 | 1 |
1 | 0 | 1 | 0 | 1 |
1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
0 | 1 | 1 | 0 | 1 |
0 | 1 | 0 | 0 | 0 |
0 | 0 | 1 | 0 | 1 |
0 | 0 | 0 | 0 | 0 |