Limites
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0/0=>cociente de polinomios:factorizar y simplificar
con radicales:multiplicar y dividir por conjugado
?/?=>cociente de polinomios:regla de grados
gN>gD=?;gN =gD=cocientes;gN < gD= 0
con radicales:dejando el termino de mayor grado en raiz
?-?=>fracciones algebraicas:operando fracciones(mcm)
con radicales:multiplicar y dividir por conjugado
ContinuidadIntuitivamente, la continuidad significa que un pequeño cambio en la variable x implica sólo un pequeño cambio en el valor de f(x), es decir, la gráfica consiste de un sólo trozo de curva.
En contraste, una gráfica como la de la función f(x) = sgn x (signo de x) que consiste de pedazos de curva separados por un vacío en una abcisa exhibe allí una discontinuidad. La continuidad de la función f(x) para un valor a significa que f(x) difiere arbitrariamente poco del valor f(a) cuando x está suficientemente cerca de a. Expresemos esto en términos del concepto de límite... Definición".DefiniciónContinuidad por la izquierdaUna función f(x) es continua por la izquierda en el punto a si existe f(a) y limx->a-f(x) = f(a). DefiniciónContinuidad por la derechaUna función f(x) es continua por la derecha en el punto a si existe f(a) y limx->a+f(x) = f(a). La función anterior es continua por la izquierda en x=2, pero no por la derecha. DefiniciónContinuidad en un intervalo cerrado [a,b]Una función f(x) es continua en un intervalo cerrado [a,b] si: Clasificación de discontinuidadesEvitableCaso A:No existe f(a) pero existe limx->af(x). Podemos extender la definición de la función, asignándole en el punto a el valor del límite, con lo cual la función se torna continua. Por ello este tipo de discontinuidad se denomina evitable. Caso B:Existe f(a) y existe limx->af(x)=b pero b≠f(a). Asignándole a la función el valor 4 en x=2, se elimina la discontinuidad. No evitable1ª especie:limx->a-f(x) ≠ limx->a+f(x).
2ª especie:No existe limx->a-f(x) o no existe limx->a+f(x). Ejemplo:
En x=-2 y x=2 la función presenta discontinuidades no evitables de 2ª especie. No existe limx->-2+f(x) y no existe limx->2-f(x). |
TIPOS DE DISCONTINUIDADES
A) Evitable: Cuando existe el pero no coincide con el valor de f(a) por una de estas dos razones, son distintos los valores o no existe f(a).
B) De salto: Cuando existe el límite por la derecha y por la izquierda (siendo ambos finitos) pero no coinciden.
C) Asintótica: Cuando alguno de los límites laterales (o ambos) no es finito. Puede ser asintótica por la derecha, por la izquierda o por ambos lados.
D) Esencial: Cuando no existe alguno de los límites laterales (o ambos). Puede serlo por la derecha, por la izquierda o por ambos lados.
Si y = f(x) tiene una discontinuidad evitable en x = a, llamaremos verdadero valor de la función en x=a al . Dicho valor es el que convierte a la función en continua.
Si y = f(x) tiene una discontinuidad de salto en x=a, llamaremos salto de la función en x=a al valor
Estudiar, como aplicación de lo anterior, la continuidad y discontinuidades de las funciones elementales vistas en el capítulo anterior y de las funciones definidas a trozos.
A1) Límite finito:
Se dice que la función y = f(x) tiene por límite l cuando x tiende hacia a, y se representa por (Es decir, que si fijamos un entorno de l de radio , podemos encontrar un entorno de a de radio que depende de de modo que para cualquier valor de x que esté en el entorno E(a, exceptuando el propio a, se tiene que su imagen f(a) está en el entorno E(l,).)
A2) Límite infinito: (A partir de ahora usaremos la notación matemática para hacer más corta la definición).