Leyes de errores, precisión y topografía: fundamentos de geodesia, GPS y nivelación

Errores de medición y leyes de propagación

Ley de errores de Gauss

Valor más probable: media aritmética de las observaciones.

Error residual: (valor más probable − observado).

Medidas de precisión

Módulo de precisión (h): h = 1/(n/2 · Σ errores verdaderos (E_i)). Se realizan 2 series de observaciones. Si ambas son iguales (h₁·a₁ = h₂·a₂), la más precisa es la de mayor h.

Pesos (p): cantidades proporcionales al cuadrado de los módulos de precisión (p₁/h₁² = p₂/h₂²).

Error probable (r): probabilidad de cometer un error menor en valor absoluto que r = 0.48/h, es decir, (1/2).

Error promedio (η): media aritmética de los valores absolutos de los errores verdaderos (η = 1.2·r).

Error medio cuadrático (m): media aritmética del cuadrado de los errores verdaderos (m = 0.7·(1/h) = 1.5·r = 1.3·η).

Valor más probable:

• Error medio cuadrático del valor más probable (m_x = m/√2).
• Error promedio del valor más probable (η_x = (1/√n)·(1/1,3)·m).

Ley de transmisión de errores

Error medio cuadrático de la serie: m_x = √((Σ A_i²)/(n·(n−1))).

Distinta confianza: (m_x = m/√(Σ P_i)).

Topografía y geodesia

Topografía: se apoya en dos o más puntos geodésicos. Permite el levantamiento de zonas muy extensas, tales que se sustituirían por el plano tangente a la misma en el centro, sin error.

Superficie de nivel: superficie normal a la vertical de los puntos del terreno, lugar geométrico de todos los puntos de un campo conservativo de fuerzas del mismo potencial. No son paralelas; máximo en polos y mínimo en ecuador. En topografía se consideran esferas. En realidad no se usan; se utilizan cotas ortométricas.

Longitud: ángulo diedro formado por el plano meridiano del punto y el meridiano 0.

Latitud: ángulo formado por la normal del punto y el plano del ecuador.

Meridiana: línea de intersección del plano horizontal y el meridiano (fija N-S).

Acimut: ángulo que, en el plano horizontal del punto, forma la proyección de la dirección con la meridiana del punto.

Geodesia espacial (dibujo): las altitudes referidas al geoide son altitudes ortométricas (H), y se relacionan con las elipsoidales (h) mediante la ondulación del geoide (N). (h = N + H).

GPS

• Segmento espacial: NAVSTAR (24 satélites, 6 planos orbitales, decalaje de 60°, 4 satélites por órbita).
• Segmento de control: estaciones cerca del ecuador (rastrear, actualizar, determinar órbita de satélites).
• Segmento usuario: receptor GPS.

Soluciones de posicionamiento (GPS)

Forma de estacionar: cinemático (en movimiento), estático (fijo, 5 mm·10⁻⁶), híbrido (stop and go).

Número de receptores: absoluto (1 único receptor, SPP); relativo (al menos 2 receptores, 10⁻⁶).

Observables que se registran: en código (código C/A, posicionamiento global) y fase (diferencia de fase entre la portadora emitida por el satélite y la generada por el receptor).

Disponibilidad de soluciones: post proceso (en gabinete) y tiempo real (RTK) (al menos 2 equipos de observación, 2 cm o menos).

Levantamientos topográficos

• Regulares: de precisión (errores en el plano menores a 0.2 mm); expeditos (croquis).
• Irregulares: errores grandes, instrumentos poco precisos.

Planimetría: operaciones para obtener la proyección horizontal de los puntos que definen la zona.

Altimetría: operaciones para obtener la proyección vertical de los puntos que definen la zona.

Influencia de la esfericidad terrestre (dibujo)

(Planos acotados). Despreciable la diferencia entre cuerda y círculo máximo.

Planimetría (e_D): error al considerar D₁ en vez de D´. (e_D = D³/(3r²)). Distancia máxima admisible (D_max = ∛(0.2·k·3·r²)). Despreciable.

(e_iD): error al considerar D₁ en vez de D´. (e_iD = (D·h)/r). (D_istmax = √(2·r·0.2·k)).

Conclusión: en planimetrías despreciable el error al elegir D en vez de D´.

Altimetría (e_h): (e_h = D²/(2r)). (e_h = M_m − M_m´).

En altimetría no podemos prescindir de la esfericidad ni de la refracción; las cotas se refieren a la superficie de nivel, no al plano horizontal.

Proyección topográfica: sustituir la superficie terrestre por una superficie poliédrica formada por tantas caras como estaciones. Constituye el plano único de comparación. En altimetría, las curvas de nivel son las intersecciones con el terreno de esferas concéntricas; en el resto, planos acotados.

Errores de medición: sistemáticos y accidentales

Errores sistemáticos: debidos a causas determinadas, se acumula su efecto (error por temperatura, tensión, pandeo).

Error accidental: por limitaciones del operador y del instrumento. Acumulación aleatoria, imposible de prever (error de alineación, horizontalidad, señalamiento, coincidencia).

Composición de errores (de toda la línea):

• Error sistemático (s = n·s).
• Error accidental (e_a = √n·e_a).
• Error absoluto (e = s + e_a).
• Error relativo (e_r = e/D).

Ángulos de interés en topografía

Ángulo topográfico: es el rectilíneo del diedro que forman los planos verticales que contienen a las direcciones.

Ángulo vertical: ángulo que forma la dirección con el cénit.

Niveles

Nivel tórico: toro: superficie de revolución generada por una circunferencia de radio r al girar alrededor de un eje E. Porción de tubo tórico en montura metálica y tornillo de reglaje. La precisión depende del radio de curvatura R, de la precisión del sistema de observación. Radios entre 10 y 20 m.

Nivel de coincidencia: no tiene divisiones. Dispositivo óptico. Se aprecia (s/20). Mayor facilidad de calado.

Nivel electrónico: tubo tórico de radio de curvatura pequeño, líquido conductor, 3 electrodos de platino. Caída de tensión; un galvanómetro G mide la tensión.