Se lanza una moneda cuatro veces. Calcular la probabilidad de que salgan más caras que cruces.

Sucesos independientes

Dos sucesos A y B son independientes si
p(A/B) = p(A)
Sucesos dependientes
Dos sucesos A y B son dependientes si
p(A/B) ≠ p(A)
Ejemplo:

De una baraja de 48 cartas se extrae simultáneamente dos de ellas. Calcular la probabilidad de que:
1
 Las dos sean copas.
2
Al menos una sea copas.
3
Una sea copa y la otra espada.
Un taller sabe que por término medio acuden: por la mañana tres automóviles con problemas eléctricos, ocho con problemas mecánicos y tres con problemas de chapa, y por la tarde dos con problemas eléctricos, tres con problemas mecánicos y uno con problemas de chapa.
1
 Hacer una tabla ordenando los datos anteriores.
2
Calcular el porcentaje de los que acuden por la tarde.
3
Calcular el porcentaje de los que acuden por problemas mecánicos.
4
Calcular la probabilidad de que un automóvil con problemas eléctricos acuda por la mañana.
Para la construcción de un diagrama en árbol se partirá poniendo una rama para cada una de las posibilidades, acompañada de su probabilidad.

En el final de cada rama parcial se constituye a su vez, un nudo del cual parten
nuevas ramas, según las posibilidades del siguiente paso, salvo si el nudo representa un posible final del experimento (nudo final)
.
Hay que tener en cuenta: que la suma de probabilidades de las ramas de cada nudo ha de dar 1.

Ejemplos

Una clase consta de seis niñas y 10 niños. Si se escoge un comité de tres al azar, hallar la probabilidad de:
1
 Seleccionar tres niños.
2
Seleccionar exactamente dos niños y una niña.
3
Seleccionar exactamente dos niñas y un niño.
1
 Seleccionar tres niñas.

Diagrama de Árbol

Calcular la probabilidad de que al arrojar al aire tres monedas, salgan:
Tres caras.

Experimentos compuestos:

 es aquel que consta de dos o más experimentos
aleatorios simples. Es decir, si tiramos un dado, o una moneda, son experimentos aleatorios simples, pero si realizamos el experimento de tirar un dado y posteriormente una moneda, estamos realizando un experimento compuesto.

Experimentos compuestos:

 es conveniente usar el llamado diagrama en árbol para hacerse una idea global de todos ellos.
Teorema de Probabilidad
Total
Si A 1, A 2,..., A n son:
Sucesos incompatibles 2 a 2.
Y cuya uníón es el espacio muestral (A 1 A 2... A n = E).
Y B es otro suceso.
Resulta que:
p(B) = p(A1) . P(B/A1) + p(A2) . P(B/A2) +... + p(An). P(B/An)
Ejemplo

Se dispone de tres cajas con bombillas

La primera contiene 10 bombillas, de las cuales hay cuatro fundidas; en la segunda hay seis bombillas, estando una de ellas fundida, y la tercera caja hay tres bombillas fundidas de un total de ocho. ¿Cuál es la probabilidad de que al tomar una bombilla al azar de una cualquiera de las cajas, esté fundida?
Teorema de Bayes
Si A 1, A 2,..., An son:

Sucesos incompatibles

2 a 2.
Y cuya uníón es el espacio muestral (A 1 A 2... A n = E).
Y B es otro suceso.
Resulta que:
Las probabilidades p(A1)
se denominan probabilidades a priori.

Las probabilidades p(Ai/B)
se denominan probabilidades a posteriori.

Las probabilidades p(B/Ai)
se denominan verosimilitudes.

Ejemplos

El 20% de los empleados de una empresa son ingenieros y otro 20% son economistas

El 75% de los ingenieros ocupan un puesto directivo y el 50% de los economistas también, mientras que los no ingenieros y los no economistas solamente el 20% ocupa un puesto directivo. ¿Cuál es la probabilidad de que un empleado directivo elegido al azar sea ingeniero? La probabilidad de que haya un accidente en una fábrica que dispone de alarma es 0.1. La probabilidad de que suene esta sí se ha producido algún incidente es de 0.97 y la probabilidad de que suene si no ha sucedido ningún incidente es 0.02. En el supuesto de que haya funcionado la alarma, ¿cuál es la probabilidad de que no haya habido ningún incidente?
Sean los sucesos:
I = Producirse incidente.
A = Sonar la alarma.