Indar eremu kontserbakorrak eta ez kontserbakorrak

3.4 ABIADURAREN ETA AZELERAZIOAREN OSAGAI INTRINTSEKOAK

Partikula baten ibilbidea da bere r(t) posizio bektorearen erpinak denboran zehar deskribatzen duen kurba. Dt oso denbora tarte laburrean, partikularen desplazamendu bektorea

( dr(t) = r(t + dt) – r(t) ) ibilbidearen tangentea da. Eta v(t) aldiuneko abiadura-bektoreak zein dr (t) desplazamendu infinitesimala bektoreak norabide eta noranzko berbera duenez ( v(t)= dr(t) /dt ), ondoriozta daiteke:
Partikularen aldiuneko abiadura-bektorea ibilbidearen tangentea da beti. Beraz, abiadurak osagai tangentziala baino ez dauka.

Azelerazio bektoreak denboran zeharreko abiaduraren aldaketa adierazten du. Abiadura bektore bat denez, denboran zehar bere modulua zein bere norabidea alda daitezke.

1. Demagun abiadura-bektorearen modulua baino ez dela adatzen

V abiaduraren norabidea denboran zehar aldatzen ez bada, partikularen ibilbidea zuzena da, dv bektoreak v-ren norabidea dauka.

Hori dela eta, a0 dv/dt azelerazioak v-ren norabidea dauka, hots, azelerazioa ibilbidearen tangentea da.

Azelerazioaren modulua oso erraz kalkula dezakegu. Errefenrentzia sistemaren x ardatza v-ren norabidean hartuz, honakoa dugu:

Beraz,

Ondoriozta dezakegu: azelerazio-bektorea ibilbideren tangentea da eta bere modulua abuaduraren moduluaren denborarekiko deribatua da.

1. Abiadura-bektorearen norabidea baino ez dela aldatzen

Modulu konstantedun bektore baten denborarekiko deribatua bektorearen perpendikularra da. A= dv/dt azelerazio bektorea v bektorearen perpendikularra da. Beraz, azelerazioa ibilbidearen perpendikularra edo normala da.

Azelerazio normalaren modulua kalkulatuko dugu, lehenengoz kasu partikular batean, eta gero, lortutako emaitza orokortu egingo dugu. Demagun partkulak higidura zirkular bat deskribatzen duela, eta abiaduraren modulua konstante dela. Abiadura-bektorearen norabidea aldakorra da eta azelerazioa ibilbidearen normala da.

Abiadura-bektorea beti ibilbidearen tangentea denez, partikula dagoen puntuan abiadura erradioaren perpendikularra da. Beraz, dӨ angelua, p1 eta p2 puntuetako erradioen artekoa eta abiadura-bektoreak biratu duen angeluak berdinak dira.

Op1p2 eta op1p2’ hiruki biak isoszeleak direnez eta dӨ angelu berdina daukatenez antzekoak dira.

Baina, dt denboran partikula ds zirkunferentzia arkua ibiltzen denez, v= ds/dt, eta azelerazioaren modulua honakoa da

Emaitza hau higidura zirkular uniformearen kasuan lortu dugu. Hala ere, abiaduraren modulua konstantea bada aipaturiko emaitza edozein ibilbide kurbilinioetan ere baliagarria da. Arrazoia hauxe da: espazioko edozein kurba zatitu daiteke eta zati bakoitza zirkunferentzia-arku batera hurbil daiteke. Zirkunferentzia horiek plano ezberdinetan daude eta erradio ezberdinak dituzte. Erradio horri kurbaren kurbadura-erradioa, deitzen zaio eta p letras adierazten da. Partikulak kurba bat deskribatzen badu modulu konstantedun abiaduraz, azelerazioa ibilbidearen perpendikularra da puntu guztietan. Azelerazioaren modulua a = v^2/ p, non p erradioa da.

1. Partikularen higidurarik orokorrena: denboran, aldiuneko abiadura-bektorea moduluan zein norabidean aldatzen da

   
   

Aurretik ikusi dugunaren arabera, a(t) azelerazio-bektoreak bi osagai dauzka (osagai intrintzekoak):

Bata v(t)-ren norabidean: ibilbidearen tangentea da eta abiaduraren moduluaren aldaketak adierazten dituena. Azelerazio-bektorearen osagai hau azelerazio tangentziala deiturikoa da eta at ikurriz adierazten da. Bere modulua honako hau da:

Eta bestea v(t)ren norabide perpendikularrean: ibilbidearen normala eta kurbaren barrurantz, abaduraren norabidearen aldaketak adierazten dituena. Azelerazio-bektorearen osagai hau azelerazio normala daiturikoa da eta an ikurraz adierazten da. Modulua  an= v^2 / p.

Azelerazio totala, a bektorea, aurreko osagai bien batura bektoriala da, a= at+an

Eta at perpendikularra an denez, moduluen arteko erlazioa hau da: a^2 = at^2 + an^2

Partikularen ibilbidea ezaguna bada, ibilbidearen puntu guztietan an azelerazio normalaren norabide eta noranzko, erabat determinatuta daude.

Aldiune batean partikularen v abiadura eta a azelerazio-bektoreak ezagunak badira, ondorengo aldiune batean ibilbidea nolakoa izango den determina dezakegu: ibilbidea kurbatzen den ala ez eta ibilbidea kurbatzen bada norantz eta zenbat kurbatuko den. Horretarako an bektorea kalkulatu behar dugu, a azelerazio totalaren proiekzioa vren norabide perpendikularrean. Proiekzio hau 0 bada, an=0 azelerazioak osagai tangentziala baino ez dauka eta ondorengo aldiunetako ibilbidea zuzena izango da. Aitzitik proiekzioa zero ez bada abiadura bektorea aldatu egingo da eta ibilbidea kurba bat izango da. Proiekzioaren noranzkoak zirkunferentziaren zentroa norantz dagoen adieraziko du eta moduluari esker zenbat kurbatuko den kalkula dezakegu.

3.5.2  HIGIDURA ZIRKULARRA

P=KTE P=/ infinitu eta an=/o

Ibilbide zirkularra plano batean gertatzen da.  Kurbadura erradioa balio bat dauka ibilbide osoan, eta kurbadura zentroa bakarra da.  Partikulak zirkunferentziaren arku bat, S deskribatzen duen bitartean, erradioak Ө angelua biratzen du; angelua erradianetan adierazten badugu: s=R Ө

Erreferentzia sistemaren jatorria kurbadura-zentroan hartuko dugu. W abiadura angeluarra sasibektorea ere definitu egingo dugu, bere modulua dt denbora-tarte infinitesimal batean ekortutako angelua adierazten du, w= d Ө/ dt. Ds, partikulak zirkunferentziaren gainean dt denbora-tartean egiten duen desplazamendua da eta hurrengo erlazioa betetzen du

W sasibektorearen norabide eta noranzkoa ibilbideko planoaren normal positiboarenak dira

Era bekorialean, v-ren eta w-ren arteko erlazioa honelakoa da: v=w x r

Era analogoan α sasibektorea definitzen da. Bere modulua, α, abiaduraren denborarekiko deribatua da α= dw/dt bere norabidea w-ren paraleloa da eta bere noranzkoa w-ren berdina, deribatua positiboa denean, baina w-ren aurkakoa deribatua negatiboa denean

Azelerazioaren osagai tangentzial eta normala abiadura angeluarraren eta azelerazio angeluarraren menpe ere adieraz daitezke

1. Higidura zirkular uniformeki azeleratua

1. Higidura zirkular uniformea

4.4 PARTIKULAREN DINAMIKA ERREFERENTZIA-SISTEMA AZELERATU BATEAN

Erreferentzia-
sistema azeleratu batetik (ESeI) objektu baten azelerazioa neurtzen badugu, indarra ez da gorputz horren masa bider azelerazioa izango. ESeI errotatu gabe irristatzen duen erreferentzia-sistema azeleratua bada hauxe beteko da

A ESeI sistemak ESI sistemarekiko duen azelerazioa da eta a ESeI sistemarekiko objetuak daukan azelerazioa. ESI-etan onartu egiten dugu partikulen azelerazioak eurek jasaten dituzten indarrek sortuak direla. ESeI etan irizpide berbera mantendu nahi badugu, ondokoa suposatu beharko dugu:  ES aldatzean partikulek indar berri batzuk jasango dituztela

Partikulak jasaten duen indar totala F da ESI batean naurtuta. Beste batugaia, indar berria da, inertzia indarra. ESeI-etan agertzen den indar hori ez dago beste inolako gorputzen presentziarekin erlazionatuta eta ez du Newtonen 3. Legea betetzen.

Adibidea:

Azter dezagun fenomeno fisiko bera, behatzaile inertzial (ESI) eta ez-inertzial (ESeI) baten ikuspegitik:

1. Tren azeleratu baten bagoi batean, soka batez, bagoiko sabaiatik lanpara bat eskegita dago eta soka inklinatuta dago

Behatzaile inertzial baten interpretazioa:

Lanpararen azelerazioa A da. Newtonen bigarren legearen arabera, soka okertuko da tentsioaren osagai horizontalak azelerazio hori eman diezaion.

Behatzaile ez inertzial baten interpretazioa:

Lanpara ez dago azeleratuta. Newtonen bigarren legea erabiliz aztertu nahi badugu, beste indar bat suposatu behar dugu (-ma), tentsioaren osagai horizontala oreka dezan. Behatzaile ez-inertzialaren ikuspegitik, inertzia indar hori da sokaren inklinazioaren eragilea.

1. Objektu bat plano horizontalean biratzen duen sokaren tensioa.

Behatzaile inertzial baten interpretazioa:

Blokeak higidura zirkular uniforme bat deskribatzen du plataformaren zentroaren inguruan. Ondorioz, azelerazio normala dauka, Newtonen bigarren legearen arabera sokaren tentsioa da azelerazio horren arduraduna.

Behatzaile ez inertzial baten interpretazioa:

Blokea ez dago azeleratua. Newtonen bigarren legea erabiltzen jarraitu nehi badugu, indar fiktizio bat suposatu behar dugu sokaren tentsioa oreka dezan. Behatzaile ez inertzialarentzat inertzia-indarra izango da sokan tentsioa eragingo duena.

5.2 MOMENTU LINEALAREN, ANGELUARRAREN ETA ENERGIAREN TEOREMA

1.Lineala

Partikula baten momentu lineala honela definitzen da: masa eta abiaduraren arteko biderkadura p=mv. Newtonen 2. Legearen arabera

Hau da momentu linealaren teorema modu diferentzialean idatzita : “partikula baten momentu linealaren aldaketa denborarekiko partikulak jasaten duen indar erresultantea da”.

Ekuazio horren bi aldeetan (dt) biderkatuz eta gero integratuz, momentu linealaren teorema modu integralean idatziko dugu

I indarraren inpultso edo bulkada lineala da. Ekuazioak adierazten du, denbora tarde batean aplikaturiko indar erresultantearen ondorioa partikularen momentu lineala aldatzea da. Bertatik momentu linealaren kontserbazioaren teorema ondorioztatzen da: Partikula batek jasaten dituen indarren erresultantea nulua bada, partikularen momentu lineala kontserbatuko da: F=0, p=kte

2.Angeluarra

Partikula baten momentu angeluarra O puntuarekiko ondoko magnitude bektoriala da: lo= rxp,

Non r partikularen posizioa O puntuarekiko den. Beraz, Lo- ren norabidea, r eta p-ren artean osatzen duten planoaren perpendikularra da. Eta r bektorea O puntuaren menpekoa denez, partikula baten momentu angeluarra, Lo, ere aukeratutako O puntuaren menpekoa da.

Partikularen momentu angeluarraren definizioa denborarekiko deribatuz

Mo, indar erresultantearen mometua da, O puntuarekiko. Mo bektorea r eta F bektoreen perpendikularra da eta bere balioa aukeratutako O puntuaren menpekoa da.

Teorema: Partikula baten momentu angeluarraren aldaketa denborarekiko, partikulak jasaten dituen indarren momentu erresultantea da.

Kontserbazioaren teorema: Partikula batek jasaten dituen indarren momentu erresultantea O-rekiko nulua bada, orduan partikularen momentu angeluarra puntu berarekiko kontserbatuko da Mo=0, L=kte

3.Energiaren Teorema

Demagun P partikula batek C ibilbidea deskribatzen duela, F indar baten eraginpean. F indarrak egindako lan infinitesimala , partikula r posiziotik (r+dr) poziziora desplazatzen denean, ondoko magnitude eskalarra: dW= F*dr= F*dr *cosӨ= Ft*dr.

Lan infinitesimala, orduan, desplazamenduaren eta Ft-ren arteko biderkadura izango da. Indarra eta partikularen desplazamendua elkarren perpendikularrak badira, orduan lana nulua izango da. Lana (SI-n)= Joule: 1J= 1kg m^2 /s^2

F indarrak egindako lan totala,  C ibilbide bateko r1 eta r2 puntuen arteko desplazamendu finitu batean zehar, indar horrek egindako lan infinitesimal guztien batura

F indarrak egindako lana, partikularen r1 posiziotik r2 posiziora joateko, C ibilbidearen menpekoa izango da. Gainera, partikulak indar gehiago jasaten baldin baditu, indar guztien artean egindako lan totala eta indar erresultanteak egindako lana berdinak dira.

Bestalde, F indarrak denbora unitateko egindako lana aldiuneko potentzia da:

SI-n, 1W= 1J/s= 1kg m^2 / s^3.

Azkenik, partikula baten energia zinetikoa ondoko manitude eskalarra da: Ec= ½ m v^2. (Joul)

Ekuazioarekin energiaren teorema lortzen da: Partikula batek jasaten duen indar erresultantearen partikularen energia zinetikoaren denborarekiko aldaketa da.

Ekuazioaren arabera, partikula batek jasaten duen indar erresultantearen Lana, partikularen energia zinetikoaren aldaketaren berdina da. Eta aderantziz, lana nulua bada, Ez kontserbatuko da: W=0, Ez=kte.

Momentu linealaren, momentu angeluarraren eta energiaren teoremetatik abiatuz lortu ditugun hiru kontserbazio-teoremak oso baliagarriak dira: Erreferentzia sistema inertzial bat emanda (ESI), kontzerbazio teoremek magnitude fisiko horien iraupena ziurtatzen dute, partikularen higidura zehazki ezagutu beharrik gabe.

Momentu linealaren, angeluarraren eta energiaren teoremak fisikaren goreneko kategoriakoak kotsideratzen dira: oinarriak edo printzipioak.

Definizio guzti hauek, partikularen abiaduraren menpekoak direla. Beraz, bi behatzaile inertzial elkarrekiko higitzen hari badira, magnitude horien balio ezberdinak neurtuko dituzte partikula bererako.

5.4 POSIZIOAREN MENPEKO INDARRAK. INDAR KONTSERBAKORRAK. ENERGIA POTENTZIAL

ENERGIA MEKANIKOAREN KONTSERBAZIOA

Lana eta energia zinetikoaren kontzeptuak erabil ditzakegu partikularenn higiduraz informazio kualitatiboa lortzeko, eta kasu askotan, kuantitatiboa. Energiaren teorema itzuliz:

Lana definitzen duen integrala kalkulatzeko, (F*dr) biderkadura ebaluatu behar da partikulak jarraitutako C ibilbidean zehar.  Baina, kasu gehienetan, ibilbidea ezagutzeak problema jadanik ebatzita dagoela suposatzen du. Hortaz, aurreko adierazpena soilik izango da erabilgarria, lanaren kalkulua egin daitekeenean ibilbidea ezagutu gabe. Naturan badaude posizioen menpeko indarrak, horien lana ibilbidearen independentea da.

Horrelako indarrei kontserbakorrak deitzen zaie eta, partikula puntu batetik bestera desplasatzean, indar horiek egindako lanak partikularen hasierako posizioaren eta amaierako posizioaren menpekotasun hutsa dauka, hau da, lana jarraitutako ibilbidearen independentea da.

Indar kontserbakorrek egindako lanak hasierako eta amaierako posizioen menpekotasun hutsa dutenez, funtzio eskalar bat existitu behar da, lanaren balioa ematen duena soilik hasierako eta amaierako posizioen menpe. Funtzio eskalar bat definitzen da, Ep (r) , ondoko erlazioa betetzen duena

Ibilbidearen tramu infinitesimal batean hurrengoa idatz dezakegu

Ekuazioa honela interpreta dezakegu, Ep(r) funtzioaren aldaketak F(r) indar kontserbakorrak egindako lana ematen du. Lan horrek partikulari energia transfiritzen dio eta beraz, Ep funtzioa har daiteke, partikulak energia zinetiko bilakatzeko “potentzialki” duen energiatzat. Horregatik Ep (r) funtzioari energia potentziala deritzo.

Ep ri konstante bat gehitzen bazaio, energia potentzialaren diferentziak, indarrak egindako lana izaten jarraitzen du. Energia potentzialari balio absolutu bat esleitu nahi bazaio, energia potentzialaren jatorri bat aukeratu behar da. DEp= -F*dr

Energia potentzialen eskala absolutua aurki daiteke, Ep (r1) =0 ezarriz. Modu honetan, energia potentziala honako hau izango da: espazioaren edozein puntutan (r=r2) kanpo indar batek modu ia estatikoaz, F eremuaren aurka, partikula bat r1 potentzialaren jatorritik r punturaino eramateko egindako lana.

Adibideak:

• Malgukien indar elastikoa: F= -kxi, dr=dxi. X malgukiaren deformazioa da luzeera naturalarekiko, eta i malgukiaren luzapenaren noranzkoa.

Indar grabitatorioa

Lurraren gainazaletik hurbil dagoen partikularentzat, indar grabitatorioaren balioa honako hau da F= -mgk, dr= dzk. K bertikala eta goranzkoa.

Partikula ibilbide itxi batetik desplazatzen denean, indar kontserbakorrak egindako lana nulua da. Ibilbide itxian r1=r2 beraz,

Partikulak jasaten duen indar totala kontserbakorra denean, bere energia zinetikoaren eta energia potentzialaren batura higiduran zehar konstante mantentzen da.

Partikularen energia zinetikoaren eta energia potentzialaren baturari partikularen energia mekanikoa deitzen zaio, eta aurreko ekuazioak adierazten du, partikularen energia mekanikoa kontserbatzen dela indar kontserbakor batean. Horregaitik kontserbakorrak deitzen zaie.

Partikularengan, indar kontserbakorrek zein ez kontzerbakorrek eragiten badute: F = Fk + Fek, eta energiaren teorema aplikatuz

Hau da, partikulak jasaten dituen indarren artean kontserbakorrak zein ez- kontzerbakorrak badaude, partikularen energia mekanikoa ez da kontserbatzen ibilbidean zehar. Partikularen energia mekanikoaren aldaketa bi pozizioren artean, indar ez-kontzerbakorrark posizio horien artean egindako lana da

5.5 INDAR KONTSERBAKORRAK. HIGIDURA DIMENTSIO BATEAN

Indar kontserbakor baten menpeko higidura zuzenaren kasuan, Ep(x) funtzioaren grafikoak informazio handia ematen du, higiduraren ekuazioa ebatzi beharrik gabe.

Irudian energia potentzialaren kurba hipotetiko bat agertzen da, x ardatzeko higidura zuzen baterako. Kasu honetan ekuazioa holan adierazten da F(x) = -dEp / dx

Ep (x) maximoa (F) edo minimoa (A, H) den puntuetan, dEp (x) / dx = 0 eta beraz, F = F(x)i =0.

Pozizio horietan, partikula oreka egoeran dago. Minimo puntuak, (A, H), oreka egonkorrekoak dira: Partikula puntu horietatik aldenduz indarrak berriro oreka posiziorantz butztzen baitio partikulari. Maximo puntuak berriz, (F) oreka ezegonkorrekoak dira: partikula puntu horietatik oso gutxi desplazatuz gero indarrak oreka poziziotik gehiago aldentzen baitio partikulari.

Oreka posiioak identifikatzeaz eta kalifikatzeaz gain, Ep (X) –eko grafikoak lagunduko digu x ardatzeko eskualde determinatu batean higidura mugaturik dagoen ala ez esaten.                    E= Ez + Ep (x’) = ktea eta Ez >0 direnez, partikula E> Ep (x`) betetzen duten x’ posizioetan soilik egon daiteke. Adibidez, partikularen energia mekanikoa E=E1 den kasuan, partikulak geldirik, v=0, egon behar du x= xA puntuan. Aldiz, partikularen energia E=E2 bada, bere higidura mugatua izango da xb<> Ez=0 Eta bertan indarrak baimendutako eskualderantz itzularazten dio partikulari. Partikularen posizioak xb eta xc-ren artean oszilatzen du. Horregaitik, puntu horiek itzulera-puntuak deitzen dira. Bestetik, partikularen energia mekanikoa E=E3 bada, partikularen x posizioa xd<><><>

5.6 INDAR ZENTRALAK. GRABITAZIOA

Indar eremu bat zentrala bada, espazioko puntu bakoitzean definituriko indar bektorearen norabidea O puntu finko batetik pasatzen da beti. O puntua indar eremuaren zentroa deitzen da. Puntu hori jatorritzat hartzen bada, indar eremua honela adieraz daiteke

Hemen f(R) funtzio eskalar bat da, orokorrean r bektorearen mepekoa. Kalkula dezagun indarraren momentua O indar zentroarekiko.

Beraz, momentu angeluarraren teoremaren arabera

Momentu angeluarra konstante izateak, bere norabidea ere konstantea izan behar dela esan nahi du, eta beraz, bai r posizio bektorea, zein v abiadura bektorea, Loren plano perpendikularra ez ezik, energia mekanikoa ere kontserbatu egingo da

Bereziki inportantea da indar zentral erakarlea eta distantziaren karratuaren alderantzizko proportzionala.  Horrelakoa da, zeinu ezberdineko bi kargen arteko indar elektrostatikoa eta orain indar grabitatorioa aztertuko dugu

Non G=6.67 x 10^(-11) Nm^2 / Kg^2 grabitazio unibertsalaren konstantea den, eta M, m elkar erakartzen duten gorputzen masak. M>>>>>m suposatzen da honela M masa indarraren zentroan finko dago eta m zentro horren inguruan higitzen da. Indar hau kontserbakorra da eta, energia potentzialaren jatorria infinituan jarriz, Epren funtzioa lor daiteke

Partikularen ibilbidea kurba konika bat da. Kasu guztietan badago hurbiltze maximoko distantzia bat eta urruntze maximoko beste bat, biak F1-rekiko. Orbita mugatuak, elipse eta zirkunferentziak, energia total negatiboei dagozkie. Orbita mugagabeak, E>= kasuetan gertatzen dira, abiadura ez da zero egiten inoiz, eta E=0 abiadura zero egingo da r=infiniturako.

Arrazonamendu horiekin ihes abiadura deritzonalor daiteke, planeta baten gainazalean dagoen gorputz bati eman behar zaion abiadura minimoa infinituraino urruntzeko beste bultzadarik gabe. Baldintza da bere energia mekaniko totala E>=0 izatea, eta hortik

Planeten higidura gobernatzen duten oinarrizko legeak, keplerren legeak dira:

1. Planeten orbitak eliptikoak dira eta Eguzkia elipsearen foku batean dago. Lege hau indarraren izaera zentralaren ondorio da.

1. Eguzkitik planetaraino doan posizio-bektoreak denbora unitateko orrazten duen elipsearen azalera konstante da. Lege hau planetaren momentu angeluarraren kontserbazioaren ondorio da, eta indarren zentraltasunagatik betetzen da.

1. Planeten biraketa-periodoen karratuak ardatz-erdi nagusien kuboen proportzionalak dira. Lege hau deduzi daiteke grabitazio indarraren distantziaren karratuaren alderantzizko proportzionaltasunetik, errazago orbita zirkularra suposatzen badugu. Newtonen bigarren legea aplikatuz higidura zirkular uniformeaz higitzen ari den planeta bati

Lege horiek Eguzki sistemarik ez ezik, beste edozein sistemari ere aplika dakizkioke, gorputz batek grabitatzen badu masa askoz handiagoko beste baten inguruan, adibidez satelite artifizial bat lurraren inguruan.

6.2 OSZILADORE ARMONIKO SINPLEA

Malgukia konprimitzen badugu, bere hasierako posiziora itzularazten dion indar bat azalduko da. Gauza bera gertatuko da malgukia luzatzen badugu. Garrantzitsuena: malgukiak egindako indarra desplazamenduaren proportzionala da. Kontsideratzen dugun desplazamendua, oreka posiziotik dago neurtuta, adibidez, posizio bertikalean dagoen malguki baten oreka pozizioa, m-ren pisua kontuan hartuta kalkulatuko da.

Partikularen posizioaren eta azelerazioaren arteko erlazioa lortzeko, newtonen bigarren legea erabiliko dugu, minus zeinuak adierazten du indarra desplazamenduaren aurkakoa dela eta oreka berreskuratzeko joera daukala:

Ekuazioa bigarren ordenako ekuazio diferentzial lineal bat da, eta koefiziente konstanteak dauzka. Bere soluzio orokorrenak, x(t) desplazamenduak bi hautazko konstante, A eta δ, dauzka eta ondoko adierazpena du

A-ren eta δ-ren interpretazio fisikoa berehalakoak da: Batetik, sin (Wot + δ) funtzioaren balioa +- 1 tartean aldatzen da. Horrela, x-ren balio maximoa eta minimoa +- A dira.  Orduan A, x-en elongazio maximoa da eta oszilazioaren anplitudea deitzen da. Eta bestetik sinu funtzioaren argumentua angelu bat da, Ф= Wo T + δ. Angelu hau denborarekin handitu egiten da eta fasea deitzen zaio; horrela, δ hasierako fasea da, hots g¡fase-angelua t=0 denean.

X(t)= Asin (Wot + δ) higidura periodikoa da, denbora, At= ᵼo= 2π/ Wo tarteaz handitzen bada, x-en balio berbera lortzen dugu:

Funtzio trigonometriko baten argumentua 2 π handitzen bada, balio berbera dauka. Fisikoki, t eta t+ ᵼo, aldiuneen artetan, masak ziklo oso bat egin du bere posizioaren eta abiaduraren balio berberak berreskuratuz. Higiduraren periodoa honela adierazten da:

Desplazamenduaren, abiaduraren eta azelerazioaren denborarekiko aldaketak batera agertzen dira. Hasierako fasea δ= π/2 da.  π/2 radianeko fase-angelu positiboak sinu kurba bat kosinu kurba bihurtzen du. Ondorioz, desplazamendua π/2 radianetan dago atzeratuta abiadurarekiko. Abiadura fase koadratikoan dago desplazamenduarekiko: abiadura maximoa denean desplazamendua zero da, eta aldrebez. Abiaduraren maximoa eta minimoa beti zikloaren laurden batean daude aurreratuta desplazamenduaren maximo eta minimoarekiko. Desplazamendua, berriz, π radianetan dago desplazatuta azelerazioaren fasearekiko. Azelerazioa fase-opozizioan dago desplazamenduarekiko: azelerazioa maximo positiboa dauka dezplazamenduak maxmo negatiboa duenean eta alderantziz.

• Kontsiderazio energetikoak

Osziladore harmoniko askea ez da nahita ez sistema mekaniko isolatu bat. Malgukiaren kasuan, mutur bat euskarri zurrun batean lotuta egon behar da eta penduluaren kasuan, lotura puntu bat behar dugu. Airearen marruskadura eta malgukiaren marruskadura indarrak arbuiatzen baditugu, osziladore askearen energia totala kontserbatu egin behar da.

Abiadura zero izateak desplazamendua maximoa denean eta aldrebez, Ep eta Ezren arteko elkartrukea adierazten digute, Et konstante irauten duelarik. Ondoko balioak berdinak dira: Edozein aldiuneko Et  = Ep maximo = Ez maximo.

X = A sin (Wo t + δ) soluzioak, non x desplazamendua oreka-pozizioarekiko den, energia totalak konstante dirauela inplikatzen du: x= +- A desplazamenduaren anplitudea, energia potentzial maximoko pozizioan, ziklo erdiro berreskuratzen delako.

Energia potentzialaren jatorria x=0 oreka posizioan aukeratzen badugu, energia horrek ondoko adierazpena dauka

6.3 OZILADORE HARMONIKO INDARGETUA

Pendulua bere oreka posiziotik desplazatzen badugu, oszilatu egingo du, baina ez betirako; denbora batez oszilatzen egon daiteke, baina azkenean, oreka pozizioan, pausagunera itzuliko da. Osziladore elektriko edo mekaniko guztiek marruskadura moten bat jasaten dute, marruskadura indarrak disipatiboak dira eta egiten duten lana sistematik kanpora disipatuko da bero bihurtuta.  Ondorioz, sistema oszilakorraren Em denborarekin txikitzen da eta azkenean pausatzen da oszilatu gabe. Sistema oszilakorrak duen energia-galeraren abiadura jasaten dituen marruskadura indarren araberakoa da.

Ondoko kasua interesgarria da: ziklo bakoitzean galtzen den energia sistemaren energia totalaren proportzionala denean; orduan ziklo bakoitza bere aurrekoaren antzekoa da, baina anplitude pixkat txikiagoaz. Kasu hau gertatzen da marruskadura indarra, abiaduraren proportzionala denean eta horrela adieraz dezakegu: Ff =-pv. P konstantea marruskadura koefizientea da.

Kontsidera dezagun k konstantedun malguki bati lotutako m masa bat, likido likatsu baten narruan mugitzen ari dela. Masak jasaten dituen indarrak indar elastikoa ( -kx) eta marruskadura indarra ( -pv) dira. Newtonen 2. Legea aplikatuz, ondoko ekuazioa lortzen dugu

Marruskadurarik ez badago sistemaren oszilazioa askea da, higidura periodikoa t= 2 π / Wo ; periodo horri sistemaren berezko periodoa deitzen zaio.

Oszilazioen indargetzea handia ez bada osziladorearen higidura sasi periodikoa da. Kasu horretan ekuazioaren emaitza

A eta  δ  konstanteak dira. Denbora luzea igaro ondoren x=0 beraz oreka posizioan dago. Marruzkadura indarraren ondorioz, indargetzerik jasaten ez duenean baino maiztasun txikiagoz oszilatzen du.

Bi desberdintasun garrantzitsu agertzen dira osziladore askearekiko: Oszilazioen anplitudea ez da konstante bat, baizik eta esponentzialki gutxitzen doa eta sistemak ez du oszilatzen bere Wo = (k/m) ^1/2 berezko maistasun angeluarrz, Ω= ( Wo^2 - ɣ^2 ) ^1/2  balioaz baizik.

Zenbat eta indargetze handiago izan maiztasun horren balioa txikiago izango da. Osziladoreak oszilazio oso bat betetzeko behar duen denbora konstantea da, oszilazioen enplitudea denborarekin gutxitu arren. Hori dela eta, higidurari sasi periodikoa deitu ohi zaio.

Indargetze handia bada higidura erresultantea aperiodikoa da.

7.2 PARTIKULA SISTEMEN TEOREMAK: MOMENTU LINELA, MOMENTU ANGELUARRA ETA ENERGIA

7.2.1 momentu lineala

Demagun 2 partikulaz osaturiko sistema, eta bien arteko indarra soilik jasaten ari dela,

Aplika diezaiogn partikula bakoitzari Newtonen bigarren legea

Partikula biek indarra jasten dutene<, momentu="" linealak="" aldakorrak="" izango="" dira="" denboran="" zehar:="" {="" p1="" (t)="" ,="" p2="" (t)="" }.="" hala="" ere,="" elkarri="" egiten="" dioten="" indarrek="" newtonen="" hirugarren="" legea="" ere="" betetzen="" dutenez="" (akzio="" erreakzio)="" f2="" -=""> 1 = - F1 ->2 , eta goiko ekuazioak honela geratzen dira,>

Defini dezagun sistemaren momentu lineal totala, P honela

P = p1 + p2        P konstantea izango da.

Bi partikulek indar gehiago ere jasaten baldin badituzte, esaterako, kanpoko agenteek eragindako indarrak edo kanpo indarrak

Orain Newtonen legeak honela idazten dira

Ekuazioak gehituz eta deinizioa kontuan artuz

Orain sistemaren momentu lineal totala ez da konstantea, bere deribatua ez delako nulua, kanpo indar erresultantea baizik.

Bi partikula baino gehiago izan ere, N partikuladun sistemetan, aurreko prozedura bera jarrai daiteke eta emaitza bera lortuko da

Hemen F(kan) kanpoko indarren erresutantea da, eta P sistemaren momentu lineal totala. Ekuaioari Partikula Sistemaren Momentu linealaren teoremaa deritzo, eta horren arabera, partikula sistma baten momentu lineal totalaren denborarekiko deribatua eta sistemak jasatn duen kanpo indarren erresultantea, berdinak dira. Barne indarrek ezin dute partikula sistema osoaren momentu lineala aldatu. Teorema horren berehalako ondorioa da, momentu linealaren kontserbazioaren teorema, alegia, kanpo-indarren erresultatea nulua bada, orduan sistemaren momentu lineal totala konstante kontserbatzen da.

7.2.2 momentu angeluarra

Defini ditzagun lehenik:

• Partikula sistema batek duen momentu angeluar totala erreferentzia sistema inertzial baten O jatorriarekiko: partikula guztien momentu angeluarren batura bektoriala, denak O puntu berarekiko.
• Kanpo indar guztien momentuen erresultantea, denak O jatorriarekiko: partikula guztiek jasaten dituzten indarren momentuen batura bektoriala, denak O puntu berarekiko

Eta barne indarrek Newtonen hirugarren legea betetzen dutenez, barne indarren momentuak elkarrekin eta bikoteka baliogabezten direla froga dezakegu. Beraz, kanpo indarren momentuak soilik alda dezake sistemaren momentu angeluarra

Adierazpen horri Partikula-sistema baten momentu angeluarraren teorema deritzo, eta hitzez, honela azal daiteke: Partikula-sistema batek, erreferentzia sistema inertzial baten O jatorriarekiko, daukan momentu angeluar totalaren deribatua denborarekiko, eta sistemari eragiten ari zaizkion kanpo-indarren momentu erresultantea berdinak dira, momentuak ere erreferentzia sistema berdinaren O jatorriarekiko hartuta.

Teorema horren berehalako ondorioa da, momentu angeluarraren kontserbazioaren teorema, alegia, kanpo indarren momentu erresultantea nulua bada, orduan sistemaren momentu angeluar totala konstante kontserbatzen da.

Momentu angeluarraren teoremaren arabera, barne-indarrek ezin dute sistema osoaren momentu angeluarra aldatu, kanpokoek soilik. Horren arrazoia da, barne-indarren momentua nulua dela, indarrok akzio-erreakzioak direlako.

Partikulen kasuan:

Eta partikula sistema osatzen duten bikote bakoitzerako prozedura bera errepika daiteke, eta bikote guztietan nulu ematen duenez, sistema osoarentzat ere nulua ematen du: Mo (bar)=0.

7.2.3 ENERGIA

Aurretik defini dezagun:

• Sistemaren energia zinetikoa , sistema osatzen duten partikula guztien energia zinetikoen batura.
• Barne indarren lan totala, barne indarrek partikula guztiengan eragiten duten lan guztien batura.
• Kanpo indarren lan totala kanpo indarrek partikula guztiengan eragiten duten lan guztien batura.

Froga daiteke:

Wkan + Wbar = AEz

Adierazpen horri Partikula-sistemaren energiaren teorema deritzo, eta beraren arabera, partikula sistemari eragiten dioten indar guztiek egindako lana, bai barnekoek zein kanpokoek etasistemaren energia zinetikoaren aldakuntza berdinak dira.

Momentu linealean eta Momentu angeluarrean ez-bezala, oraingo honetan, Energian, bai kanpo-indarrek eta eta baita barnekoek ere, badute eragina sistemaren energi zinetikoan. Orokorrean, barne indarren lan totalak ez dute nuluak izan behar, izan ere nahiz eta indarrak akzio erreakzioak izan, desplazamenduek ez dute zertan berdinak izan, eta bikoteka ez dute lan totala baliogabezten.

7.3 TALKAK

Moment lineal, angeluar eta energiaren teoremak bereziki erabilgarriak dira partikulen arteko talkak aztertzeko. Bi partikula elkarri hurbiltzen direnean talka izan dezakete, bai kontaktu fisikoaz zein kontaktu fisikorik gabe, haien artean urrutiko indarrak baldin badaude. Baina talka guztietan momentu eta energia trukaketa gertatzen da, bi partikulen higidurak aldatu egiten dira bata bestearen eraginez.

Kanpo indar erresultantea nulua bada, barne indarra bakarrik baldin badago, sistemaren momentu lineal totala kontserbatu egiten da.

Printzipioz talkaren iraupena oso laburra izaten da, eta kanpo indarrek egon arre, ez dute ia astirik tarte labur horretan sistemaren momentu lineala aldatzeko. Kasu horietan, sistema isolatutzat har daiteke Fkan=0 > P=kte, baina soilik talka gertatu den bitartean:

P1 +p2 = p’1 + p’2

Enrgia zinetikoari dagokionez, kanpo indarrik ez badago,  kanpo indarren lana nulua izango da Wkan=0, eta energiaren teorema honela sinplifikatzen da: Wbar= AEz . Talkaren ondoren eta talka baino lehen, sistemaren energia zinetikoa berdina bada, talkari elastiko deritzo, barne indarren lan totala nulua da. Sistearen Ez talkaren eraginez aldatzen bada, talkari inelastiko deritzo. Bereziki, partikula biak itsatsita geratzen direnean talkaren eraginez, talkari plastiko deritzo. Talkan gertatzen den energia-aldaketa normalean, Q faktore batez adierazi ohi da.

Talkaelastikoetan Q=0

Kasu berezi bat da, aurrez aurreko talkak. Ezagunak baldin badira talkak baino lehenagoko abiadurak eta masak eta Q faktoreak, talkaren ondorengo abiadurak honela ezgutu daitezke:

Bi ekuazio horiek bi ezezaguneko sistema bat osatzen dute. Ekuazioa koadratikoa da eta kalkuluak konpilatzen ditu. Ekuazio horren ordez, beste ekuazio bat erabil daiteke, lineala, eta Newton-ek esperimentalki lortutakoa

Ekuazio horrek adierazten du, talka egiten duten bi partikulen abiadura erlatiboa proportzionala dela, eta proportzionaltasun konstanteari, e-ri, itzultze-koefiziente deritzo. Orokorrean, 0<= e="">=><= 1.="" talka="" erabat="" elastikoa="" bada="" e="1," eta="" inelastikoa="" bada="" e="/" 1.="" plastikoa="" e="0.">=>

7.4 MSA ZENTROAREN KONTZEPTUA. MZ REN HIGIDURA

Partikula sistema baten masa zentroak definitzen du, batez beste, sistema osoaren masa non dagoen kokatuta. Masa zentroaren pozizioa honea definitzen da

Mk, k-garren partikularen masa , rk bere posizio bektorea, N sistemaren partikula kopurua eta M sistearen masa osoa,

Sistemaren masa-banaketa, disretua izan beharrean jarraitua bada, batukarien ordez, integralen bidez adierazten da

Masa zentroak batez besteko posizio bat adierazten du eta beraz, bertan ez du zertan masarik egon. Oro har, partikulen posizioak aldakorrak izan daitezke, eta beraz, MZa ere mugitu egingo da. Hortaz, MZaren posizioa denboraren menpeko izango da: R(t). Azter dezagun nola mugitzen den masa zentroa:

Hemen v= dR/ dt da, MZren abiadura, masak eta sistemaren masa totala, M, ez direla aldatzen. Sistemaren momentu lineal totala kalkula daiteke bi modutan: batetik, partikula guztien momentu linealak bektorialki gehituz, eta bestetik sistemaren M masa totala MZren abiaduraz bidertuz. Momentu linealaren teorema beste modu batez idatz daiteke

Hemen A= dV/dt= d^2r / dt^2 MZ ren azelerazioa da.

Partikula sistema baten m, mugitzen da partikula soil bat balitz bezala: partikula horren masa sistemaren masa totala da eta kanpo indar erresultantea ezagututa, ekuazioa integra daiteke eta R(t) funtzioa kalkulatu.

Translazioz higitzen den solido baten kasuan, solidoko puntu guztiak berdin berdin mugitzen dira, beraz, MZ ren abiadura eta azelerazioa edozein punturenak bezalakoxeak izango dira. Beraz MZ ren higidura kalkulatuz gero solidoko edozein puntuko higidura ezagutuko dugu.

Kasu hnetan partikula sistemaren higidura partikula bakar baten higiduraren antzekoa da. Horregaitik partikula bakarren zinematika eta dinamika aztertu dugun ikasgaietan, aztergai ziren gorputzen neurriak abuiatu agin ditugu eta partikulatzat hartu ditugu.

8.3 SOLIDO ZURRUNAREN ERROTAZIOAREN DINAMIKA ARDATZ FINKO BATEN INGURUAN. INERTZIA MOMENTUA

Demagun solido batek biratu egiten duela ardatz finko baten inguruan alegia, ardatza solidoko bi puntu finkotatik pasatzen dela.

Har dezagun solidoan itsatsita dagoen erreferentzia sistema propio bat eta jar dezagun Z ardatza errotazio  ardatz finkotzat; horrela O jatorria ardatz finkoan egongo da. Sistema horretatik dm masako elementu infinitesimal arbitrarioa behatzen dugu: beraren posizio-bektorea r da eta Z ardatzaren inguruan, zirkunferentzia deskribatuko du p= [r] sinФ erradioarekin. Eementu horren abiadura zirkunferentziarekiko tangente izango da eta beraren moulua v= wp, non w abiadura angeluarra den. Beraz, biraketako abiadura angeluarra solidoko puntu guztietan berdina izango den arren, dm elementu bakoitzaren abiadura, biraketa ardatzera daukan distantziaren menpekoa izango da.

Partikula baten momentu angeluarraren definizioaren arabera, dm eleentuak O puntuarekiko duen momentu angeluarra honelaxe idatz daiteke dLo= r x  v dm.

Adirazpen horretan r eta v elkarren perpendikularrak direla kontuan hartuz, momentu angeluarraren modulua dLo= r v dm da. Baina dLo bektorearen norabidea aukeratutako dm elementuaren areberakoa denez, ezin dugu momentu angeluarraren izaera bektoriala ahaztu.

Azter dezagun momentu angeluarraren osagai bat, hain zuzen biraketa-ardatzaren norabidearekiko osagai dLoz= r v dm sinФ. Non Ф delakoa, r eta w bektoreek osatzen duten angelua den. P = r sin Ф da, veraz: dLoz= w p^2 dm

Solidoaren partikula guztien dLoz batuz, momentu angeluar totalaren z osagaia lortuko dugu:

M-k esan nahi du integrazio limiteak solido zurrunaren masa osora zabaltzen direla. Bestetik Loz oagaiak ez du menpekotasunik jatorritzat haru den Z ardatzean kokatutako O puntuarekin; ondorioz, hemendik aurrera O letra azpiindizetik ken dezakegu Lz=Iz w

Bertan, iertzia momentua biraketa ardatzarekiko, Iz: ʃp^2 dm

Partikula sistema baten momentu angeluarraren teorema erlazionatu egiten ditu partikula sistema baten momentu angeluar totala Lo, eta kanpo-indarren momentua jatorri berdinarekiko Mo. Mo = dLo / dt.  Mz = dLz / dt

Kontuan hartuz ardatz finko baten inguruan errotatzen duen solido batentzat Iz denboran ez dela aldatzen, momentu angeluarraren teorema honela idatz daiteke: Mz = Iz α

Solido batek jasaten dituen indar guztien momentu erresultanteak Z ardatzaren norabidean osagairik ez duenean, Iz w biderkadura konstante mantentzen da denboran.

Emaitza hori baliagarria da solido ez zurrunetarako ere. Momentu erersultantea nulua bada, Iz aldatzen bada W ere aldatuko da, biderkadura konstante mantenduz.

Hala ere, Lx L ez dute zertan nuluak izan, L = Lxi + Ly j + Lz k. Horrek esan nahi du momentu angeluarraren norabideak eta biraketa ardatzren norabideak ez dutela zertan paraleloak izan.

Abiadura angeluarra eta moment angeluarra elkarren paralelo ez izateak ondorio garrantzitsuak ditu: biraketa-ardatza finko mantentzen denean, momentu angeluar bektoreak bere norabidea aldatzen du biraketarekin batera: Lx, Ly ren deribatuak ez dira =0 izngo. Beraz, ardatzaren norabidea finko mantentzeko, solidoari nulua ez den indar momentua egin behar zaio. Propietate hori garrantzisua da motorrak orekatzeko.

Kanpo indarrik ez badago, indar momenturik erez, moment angeluar teoremak moment angeluarra denboran kte izango dela adierazten digu. Honetan biraketa ardatzak aldatuko du norabidea.

8.5 SOLIDO ZURRUNAREN ERROTAZIOAREN ENERGIA ZINETIKOA ARDATZ FINKO BATEN INGURUAN. ENERGIAREN TEOREMA

Har dezagun w abiadura angeluarraz Z ardatz finkoaren inguruan biraka dabilen solido zurruna. Biraketa-aardatzetik p distantziara kokatutako dm masako elementuaren abiadura v = wp da. Eta beraz, dm elementu horren energia zinetikoa

Solidoaren energia zinetiko totala, aurreko ekuazioa batuz lortzen da.

Non w abiadura ageluarra solidoaren puntu guztietan balio berekoa den. Biraketa- ardatzarekiko inertzia momentuaren definizioa kontuan hartuz.  Ez = ½ Iz W^2

Ekuazio hori aratz finko baten inguruan biratzen ari den solid zurrun baten Ez-ren adierazpena da. Energiaren teorema partikula sistema bati aplikatutakoan, barne indarrek egindako lana nulua zela edozein bi partikulen arteko distantzia denboran konstante baldin bazen. Hori da solido zurrunaren definizioa; energiaren teorema solido zurrun bati aplikatuta honela geratzen da W kan = AEz

 Aurreko adierazpenak denborarekiko deribatuz,

Eta beraz, kanpo indarrek gauzatutako potentzia honako hau da: P = Mz W

Kanpo indarren bat kontserbakorra bada, indar horrek egiten duen lana kalkula daiteke, solidoak jasan duen energiaren poentzialaren aldaketa kalkulatuz. Energia potentzialrne jatorria OXY panoan aukeratzen badugu, dm elementuaren energia potentzial grabitatorioa gzdm izango da. Ep totala dm elementu guztien Ep integratuz lortuko dugu

Hortaz, solido zurrun baten eneria potentziala bere MZren altueraren menpekotasuna izango du soilik Ep = Mgh (mz). Solido baten pisua bere bolumen osoan banatuta egon arren, froga daiteke pisuek edozein punturekiko duten momentua eta pisu osoak MZan aplikatzean lortzen den momentua berdinak direla. Mo = Rmz  x mg . Era berean tratatuko ditugu idar inertzialak, uniformetzat artuko direnak. Garrantzitsuak dira translazio eta biraketarekin loturiko magnitudeen arteko baliokidetasunak.

8.7 ERRODADURA HIGIDURA

Solido zurrunaren higidura lauaren ekuazio orokorrak, zilindro edo esfera bati aplikatuko dizkiogu. Gorputz bi horiek gainazal lau batean errodatzen dutenean. Higidura-mota honetab¡n, solidoaren partikula guztiak euste – gainazalaren perpendikularra den plano paralelotan higitzen dira. Biraketa ardatza errodadura gertatzen ari deneko gaiazalaren paraleloa da eta biraketa-ardatz hori simetria ardatza izango da. Gorputza gainazal lau batean errodatzen egoteagatik translazio-higidurako ekuazioetan lotura bat egongo da, ondorioz, solidoak bakarrik bi askatasun gradu izango ditu: Biraketarekin loturikoa eta translazio zuzenarekin lotutakoa.

Translazioa deskribatzeko : F = dP / dt= M

Biraketa higidura aztertuko dugu:

2. Irudiko gorputza plano inklinatu batean beherantz errodatzen ari da. Gorputz horretan eragiten duten indarrak hauexek dira: bere pisua, planoak egindako indar normala eta bera eta planoaren arteko marruskadura indarra. Bi egoera desberdin bereiztea beharrezkoa da: solidoa labaindu gabe errodatzen duenean eta labaindu eta errodatzen duenean.

Gorputzak labaindu gabe errodatzen badu, MZa mugitzen den s distantzia eta gorputzaren Ф errotazio angelua erlazionatuta daude ondoko ekuazioaren bidez s = r Ф . ( r, erradioa da)

MZ aren abiadura eta azelerazioa honela adierazten dira:

Non, w= d Ф / dt eta    solido zurrunaren abiadura eta azelerazio angeluarrak diren.

Gorputz batek labainketarik gabe erroda dezan, zorua ukitzen duen solidoko puntuaren aldiuneko abiadura nulua izan behar da. Ondorioz, solidoa eta zoruaren arteko marruskadura-indarra estatikoa izango da eta haren balioa balio-limite maximoa baino txikiagoa izango da. Marruzkadura indarra eta masa-zentroaren azelerazioa

Fr-ren adierazpena erabiliz, gorputza labaindu gabe erroda dezan bete beharreko baldintza lortuko dugu

Labainketarik gabeko errodadurako kasuan, marruskadura estatikoa denez ez dago energia-galerarik; beraz, Ez+Ep kontserbatuko da.

Plano inklinatuaren malda handiegia bada edo μs oso txikia, gerta daiteke ez betetzea, orduan gorputza labaindu egingo da plano inklinatuan behera doanean. Kasu horretan s = rФ eta v= ds/ dt= rw eta A = dV/dt = rα, ez dira beteko. Ondorioz alde batetik, MZ aren azelerazio lineala eta azelerazio angeluarraren elkarren independienteak izango dira eta bestetik, marruskadura indarra dinamikoa izango da eta haren balioa μN izango da. Orduan ekuazioak hauexek izango dira: (labainketa dagoenean marruskadura-indarrak lan negatiboa egingo du; energia mekanikoaren galera egongo da)

10.3 FLUIDOEN ESTATIKAREN OINARRIZKO EKUAZIOA

Fluido bat oreka estatikoan baldin badago, eta jasaten ari den indar bakarra bere pisua bada, alegia eremu grabitatorioa, har dezagun edozein masa elementu eta hausnar dezagun jasaten dituen indarrak: batetik, elementuaren pisua, eta bestetik, inguruko fluidoak eragiten dizkion presio-indarrak. Elementua orekan badago, halabeharrez, indar totalak nulua izan behar du.

Plantea dezagun 2. Irudiko fluido elementuaren oreka baldintza, alegia, jasaten dituen indar guztien erresultantea nulua izan behar dela.

Elementu horri eragiten dioten indarrak 2 motatakoak dira:

1. elementuaren pisua eta b) inguruko fluidoak bere horma

guztien gainean eragiten dion presio-indar erresultantea.

1. Irudiko elementua zilindrikoa da, A sekzioa du, eta dz altuera.

Beraz, bolumena hau da: dV = A dz, bere masa: dm=pdV= pAdz,

Pisua: dmg = pAgdz

1. Presio-indarrak, norabide horizontalean, elkarrekin konpentsatu egiten dira. Presio-indar bertikalak, ordea, honela kalkulatzen dira: Fz =PA goiko aurpegian eta beherantz, et Fz + dFz = (P+dP) A, beheko aurpegian eta gorantz, 2. Irudiak erakusten duen bezala. Beraz, presio-indar netoa izango da, bi indar bertikalen arteko diferentzia: dFz= dPA.

Oreka baldintza berridazten badugu, elementuaren pisua (a) eta presio indar netoa (b) berdinak eta aurkakoak izan behar dira, alegia, dmg =dFz  edo p A g dz = dP A, eta bertatik dP = p g dz.

Ardatz bertikala z, beherantz orientatu dugunez, z koordenatuak sakonera adierazten du altueraren ordez. Hortaz, sakonera handitzen bada, dz positiboa, presioa ere handitzen da, dP positiboa: presioa handitu egiten da sakonerarekin.

Ekuazio hori integra daiteke, bi punturen artean:

Fluido konprimigarri batean, p dentsitatea presioaren menpekoa da, eta beraz aldakorra da z sakoneraren arabera.

Aldiz, fluidoa konprimiezina bada integrala berehalakoa da: P – Po = p g (z –zo)

Ekuazio horri fluidoen estatikaren oinarrizko ekuazioa deritzo, eta bi puntu jakinen arteko presio-diferentzia adierazten du. Bi puntuetako baten presioa kalkulatu ahal izateko bestearen presioa ezagutu behar da. Esaterako, fluidoaren gainazala airean irekita badago, gainazal hori erreferentziatzat har daiteke, gainazaleko edozein puntuk hain zuzen, presio atmosferikoa daukalako. Presio atmosferikoa aldakorra da, baina batez beste, 1 atm = 1.013*10 ^5 Pa.

P = P atm + pgz

10.4  PLIKAZIOAK

                        Merkuriozko barometroa

Presio atmosferikoa neurtzen duten aparatuei barometro deritze. Presio atmosferikoaren existentzia Torricellik frogatu zuen. Hodi luze batean merkurioa sartu eta buruz behera kokatu zuen beste ontzi baten gainean. Azpiko ontziak ere merkurioa zeukan. Hodiko merkurioa ez da usten, pixka bat baino ez da jaisten.

Hodiko goiko aldean hutsune bat sortzen da, eta presioa nulua duela kontsidera daiteke. Altuera bera duten bi puntuk, 1 eta 2 presio bera izan behar dute. Beraz hodiaren barruko fluidoak antzematen duen h altuera presio atmosferikoa berdintzen duen hura izango da. Pgh = Patm

Merkurioaren kasuan dentsitatea p=13.6gr/cm^3, beraz h= Patm/pg=760.0 mm

Merkurioa oso elementu toxikoa dena rren, asko erabili izan da barometroetan, oso dentsitate altua duelako, eta badago presio unitate bat horrela deitzen dena, merkurio milimetroak mmHg. Odol presioa adierazteko erabiltzen da adibidez.

Aiptu  dugun atmosfera unitateaz gain, beste atmosfera unitate bat definitu ohi da: Atmosfera teknikoa 1Kgf/cm^2 = 1kp/cm^2 = 9.8N/cm^2 = 9.8 x 10^4 Pascal. Atmosfera fisiko batek= 1.034 atmosfera tekniko: 1.013/0.98

                        Ontzi komunikatuak

Irudiak erakusten duen ontzi multzoan, ontzien formak eta sekzioak edozein izanda ere, denek fluido bera baldin badaukate eta denak goiko aldetik irekita baldin badaude, ontzi guztietan altuerabera antzemango du fluidoak, haien hondoan presioak berdinak izan behar direlako.

Emaitza horri paradoxa hidrostatiko deritzo.

                        Arkimidesen printzipioa

Orekan dagoen fluido batean, har dezagun edozein formako elementu bat. Dei diezaiogun V bolumenari, eta S inguruko gainazalari. Elementu horrek jasaten dituen indar guztien erresultantea nulua izan behar da; hau da; S gainazalak mugatutako fluidoaren pisua (P) eta inguruko fluidoak eragiten dion presio indar netoa (B) berdinak eta aurkakoak izan behar dira

Orain fluido elementu hori ordezkatzen badugu, S forma berdina daukan beste solido batez, inguruko fluidoak egindako presio indar erresultantea berbera izango da. Indar erresultante horri flotazio-bultzada deritzo edo Arkimidesen bultzada. Arkimidesen printzipioa honela adieraz dezakegu: Fluido batean murgilduta dagoen edozein gorputzen goranzko bultzada jasaten du; bultzada hori eta deslekuratu duen fluidoaren pisua berdinak dira.

Murgildutako gorputzaren pisuaren arabera (P’) gerta daiteke:

1. P’>B; gorputza ondoratzen da.

Baina P=pVg eta P’ = p’Vg. Beraz p’>p

1. P’ = B (p’=p); gorputzak flotatzen du, era bat murgilduta eta oreka indiferentean
2. P’);>

Flotazioa:

Gorputz batek flotatu egiten badu, bolumen-zati bat baino ez zaio murgilduta geratzen (V’), eta murgildutako zati horren bultzada (B’) gorputz osoaren pisuari eutsi behar dio: P=B’

p’Vg = pV’g hau da, V’ = p’/p  x V

Oreka baldintzak bi atal ditu; batetik, indar erresultantea nnulua izan behar da, baina bestetik momentu arresultantea ere nulua izan behar da.

Gorputza homogeneoa bada eta osorik murgilduta badago, bere grabitate zentroa, G, eta deslekututako fluidoaren grabitate zentroa, O, puntu bera izango dira, baina gorputza inhomogeneoa bada edota zati bat baino ez badauka murgilduta, gerta daiteke, O eta G separatuta egotea. Kasu horretan, G beherago badago O baino, flotazioak oreka egonkorra izango du, zeren edozein errotazio txikik eragiten dion momentuak, gorputza berriz ere oreka posiziora eramaten baitu. Aldiz, G gorago badago O baino, flotazioak oreka ezegonkorra izango du, zeren edozein desplazamendu txikik eragiten dion momentuak gorputza irauliko baitu.

                        Paskalen printzipioa

Estatikaren ekuaziotik ondorioztatzen da, fluido konprimaezin bateko puntu ezberdinen arteko presio-diferentziala konstante mantentzen dela.

P1-P2 = p g (Z1-Z2). Hortaz, bi puntu horietako batean presioa handitzen badugu, handitze hori gainontzeko puntu guztietara ere hedatuko da: AP1 = AP2

Hainbat aplikazio hidrauliko eta pneumatiko dago printzipio horretan oinarrituta; besteak beste, katu hidraulikoa, mailu pneumatikoa, autoen frenoari eragiteko pedala, hegazkinetako mandoak etabar.

Irudiko fluidoa konprimitzen badugu, A1 gainazalean F1 indarra aplikatuz, aplikatutako indarrak fluidoaren presioa handitzen du: AP1. Presio-handitze hori fluido osora hedatzen da eta, bereziki, A2 gainazalera ere, alegia AP1= AP2.

Irudiak erakusten duen bezala , F2 = F1 * A2/A1, eta beraz A2 azalera A1 baino askoz handiagoa izango da.

10.5.3 BERNOULLIREN TEOREMA

Demagun korronte hodi batean zehar zirkulatzen duen fluido ideal bat, irudiak erakusten duen bezala, eta har dezagun S1 eta S2 sekzioek mugatutako fluido-elementua.

Denbora tarte batean , dt, fluidoa desplazatu egiten da; aplika diezaiogun fluido elementu horri energiaren teorema: fluido-elementuak jasaten dituen indarrek egindako lan erresultantea eta elementuaren energia zinetikoaren aldakuntza berdinak dira. Fluido elementuak jasaten dituen indarrak bi motatakoak dira a) presio indarrak b) indar grabitatorioa

1. Presio indarrek elementuaren bi aldeetatik eragiten diote soilik, alegia, ezkerreko eta eskumako aldeetatik: dei diezaiogun F1 elementuak ezkerreko aldetik jasaten duen indarrari eta F2 eskumako aldetik jasaten duenari. Ezkerreko aldean, F1 indarrak egindako laa hau da: dW1 = F1*dl1 eta eskumako aldean dW2 = F2*dl2. Fluidoa ezkerretik eskumara mugitzen ari bada dW1 positiboa izango da eta dW2 negatiboa.

Bestalde hodiaren sekzioa nahikoa txikia bada, sekzio osoan presioa konstantetzat har daiteke, eta hortaz: F1=P1S1 eta F2= P2S2. Orduan presio indarrek egindako lan netoa honela adieraz daiteke: dWp= dW1- dW2= P1S1dl1 – P2 S2 dl2

Jarraitutasunaren ekuazioaren arabera, ezkerraldeko eta eskumako bolumenak berdinak izan behar dira,: s1dl1=S2dl2=dV , beraz, dW = (P1 – P2) dV

1. Grabitateak fluido-elementuari egindako lana, energia potentzialaren aldaketa gisa idatz daiteke. Hasierako posizioan, fluido elementua bi zatitan bana daiteke: ezker muturreko dV elementua eta erdialdeko gainontzeko bolumena. Amaierako posizioaren fluido elementua bi zatitan bana daiteke: erdialdeko bolumena eta eskuin muturreko dV  bolumena. Erdialdeko elementuaren energia potentziala ez da aldatzen, aldiz, bi muturretako elementuena bai, eta batazbesteko altuerez adieraz daitezke: h1 eta h2.

Azkenik, fluido elementu osoaren dEz bitan bana daiteke: erdialdeko elementuaren dEz eta bi muturretako elementuen Ezren aldakuntza:

Atal guztiak kalkulatu ondoren energiaren teorema berridaz dezakegu:

Ekuazio horri Bernoulliren teoremaderitzo eta fluidoen dinammikaren oinarrizko ekuazioa da; bertan agertzen diren hiru terminoek bolumen unitateko energia-kantitateak adierazten dituzte: presioa, energia potentzial grabitatorioa eta Ez. Hemen Bernoulliren teorema, korronte lerro bereko bi punturen artean frogatu dugun arren, froga daiteke, baita ere, edozein korronte hodian, fluxu laminarra eta egonkorra bad, korronte lerro guztietan konstantearen balioa bera dela. Ez dugu konuan artu fluidoaren biskositatea eta horrek, fluidoa jariotzen den bitartean, barne-marruskadura sor dezake eta energia-galerak eragin, baina ekuazio horretan termino bat gehitu daiteke energia galera ere sartzeko.

10.6 APLIKAZIOAK

                        Torricelliren formula

Depositu edo andel ireki bat likidoz beteta badago eta azpialdean zulo bat baldin badauka, zein abiaduraz egingo du ihes likidoak zulo horretatik? Aplika dezagun Bernoulliren teorema, korronte horretako bi puntutan: bata A, justu likidoaren gainazalean, eta bestea B, zuloan. B puntuaren altuera erreferentziatzat artzen badugu,

Kontuan hartzen badugu A sekzioa askoz handiagoa dela B sekzioa baino, orduan Va abidura arbuiagarria izango da V bren aldean, Vb=

Adierazpen horri Torricelliren Formula deritzo eta erakusten du fluidoak zuloan daukan ihes abiadura dela, A puntuaren altueratik etortzen den gorputz aske baten abiadura bera.

                        Venturi-efektua.

Bernoulliren teoremaren ondorio zuzena da altuera berean kokatutao bi puntutan h1=h2, adierazpen osoa honela sinplifikatzen dela

Horrek adierazten du, fluidoak abiadura handiagoa daukan puntuetan presio txikiagoa daukala, eta alderantziz. Efektu horri venturi efektua deritzo.

Efektu horretan oinarrituta G.B. Venturik emari neurgailu bat diseinatu zuen: hodi bat da, baina estugune bat daukana. A pozizioan, hodiaren sekzioa B posizioan baino handiagoa denez (Sa>Sb), jarraitutasun – ekuazioaren arabera, fluidoaren abiaduera txikiagoa izango da (vaPb). Presio diferentzia neurtu daiteke, gainean hodi bertikal bana kokatuta.)>

Hodiak A eta B puntuetan dituen sekzioak ezagututa, jarraitutasun-ekuazioa honela idazten da:

Sa Va= Sb Vb

A eta B puntuetako presioak ezberdinak direnez, gaineko hodi bertikalean, fluidoak atzematen dituen altuerak ezberdinak dira; fluidoen estatikaren ekuazioa aplika daiteke, hodia nahiko estua bada Pa-Pb = pg Ah

Beroulliren ekuazioa idazten badugu, A eta B puntuetarako, eta azken bi ekuazioak ordezkatu, honako adierazpen hau ematen du:

Argudio honetan oinarrituta, hainbat efektu azal daitezke kualitatiboki bada ere: besteak beste sifoiaren efektua, likidoak xurgatzeko erabiltzen dena, Magus efektua, pilotak airean errotatzen duenean jasaten duena, hegazkinen hegoek duten euste indarra , edo 1 formulako autoei aleroiek eragiten dieten indarra.

11.4. LAN HIDROSTATIKOA

Hormak mugikorrak badira, gasak bolumena aldatuko du eta , beraz, lana egingo du. Har dezagun kasu bat: gas baten n mol zilindro baten barruan eta A azalera duen enbolo batekin.

Gasak P presioa badu, orduan, enboloaren kontra F=PA indarra egiten du. Enboloari kanpotik aplikatzen zaion indarra, F’, balio hori baino txikiagoa baldin bada, oreka mekanikoa galduko da eta enboloa eskuinera mugituko da.

Aldiz, kanpoko indarra handiagoa bada, ezkerrera mugituko da, harik eta presioa P’ = F’/A izatera heltzen den arte. Prozesu horretan gasak lana egiten du, lan hidrostatikoa deiturikoa.

Gas batek egindako lan hisdrostatikoa kalkulatu ahal izateko, beharrezkoa da gasa uneoro zein baldintzetan egon den jakitea, hasieratik bukaeraraino. Hau da, sistemak jarraitu duen eboluzio osoa zehazki jakiten dugunean soilik kalkula dezakegu gasak egindako lana.

Horretarako, funtzesko isealizazio bat egiten da: suposatu behar da hasieratik bukaeraraino, gasa oso-oso geldi aldatzen joan dela, infinitu oreka-egoeratan zehar, beti ere oreka egoera mantenduz. Horrela, bere eboluzio osoak, PV diagraman eta puntuz puntu, kurba bat osatzen du. Prozezu mota horri prozezu kuasiestatikoa deritzo.

Prozezu kuasiestatikoetan, gasak egindako lan hidrostatikoa kalkulatzea posible da. Demagun gasak P presioa duela eta enboloa dx distantzia txiki bat mugitzen dela. Desplazamendua txikia bada, presioa ez da ia aldatzen eta beraz, gasak enboloaren kontra egindako indarra PA izango da, eta indar horrek eragindako lana

Enboloa dx distantzia desplazatzean, gasaren bolumena aldatzen da (dV=Adx)

Prozezu kuasiestatiko infinitesimaletik prozezu finitura pasatzeko, alegia, gasaren bolumena Vhtik Va ra pasatzen bada, gasak egindako lan infinitesimalak batu, behar dira W = ʃPdV

Kalkulatu dugun lan hori, gasak enboloaren kontra egindakoa d. Espantsioan positiboa da eta konpresioan negatiboa. Kuasiestatikoki egindako lanak interpretazio geometrikoa dauka.

Pv diagraman adierazten bada gasak jarraitu duen prozezu osoaren kurba, orduan kurba horrek eta ardatz horizontalak mugatzen duten azalera, gasak egindako lana izango da.

Ezaugarri horrek garbi erakusten du lan kuasiestatikoa prozezuaren baldintzen menpekoa dela, ibilbidearen menpekoa. Prozezu ez kuasiestatikoan berriz, gasa orekarik gabeko egoeratatik pasatzen da. PV diagraman soilik adieraz daitezke sistemaren hasierako eta bukaerako egoerak, baina ez, ordea, bitarteko egoerak, eta beraz, lehenengo formulak ezin dira erabili lana kalkulatzeko.

ADIBIDEAK: a) Lana, espazio kuasiestatiko eta isotermiko batean

1. Lana, espazio kuasiestatiko batean, prezio konstanteaz

11.5 BERNE ENERGIA

Kanpo elkarrekintzarik gabe eta barne indarrak kontserbakorrak direnean, partikula-multzoaren energia kontserbau egiten dela

Hauxe da sistema termodinamikoen kasua: barne energia, U,: sistemaren molekula guztien energia zinetikoen eta haien arteko elkarrekintzen energia potentzialen batura.

Sistema orekan dagoenean, barne energia aldagai termodinamikoen menpe adieraz daiteke. Gas idealetan, molekulen arteko elkarrekintza arbuiatu egiten da beraz, barne energia totala molekula guztien energia zinetikoen batura izango d soilik U=

Froga daiteke, gas baten molekulek daukaten energia zinetikoaren batez besteko balioa tenperaturarekin erlazionatuta dagoela. Izan ere, molekulak mugitzeko daukan askatasun-gradu bakoitzeko energia zinetkoaren hoako ekarpena dauka ½ Kb T

Kb= R/ Na = 1.38 x 10 ^(-23) J/K Boltzmanen konstantea da, eta Na = 6.023 x 10 ^23 Avogadroren zenbakia, sustantzia baten mol batek daukan partikula kopurua. Emaitza horri energiaren ekipartzio printzipio deritzo.

Molekula monoatomikoa baldin bada, atomo bakoitzaren energia zinetikoa translazio hutsaren energia zinetikoa izango da. Translazio hutsak hiru askatasun gradu dituenez, Ez ren bataz bestekoa hauxe da:

Hortaz gas ideal monoatomiko baten n molek daukaten barne energia

Gasa monoatomikoa ez bada, molekulek, translaziozkoa ez ezik, errotaziozko Ez ere izango dute. Esaterako gas diatomiko batek 5 askatasun gratu ditu molekula bakoitzeko eta U honela:

U = 5/2 NkbT = 5/2nRT

Emaitza hori oso garrantzitsua da, gas idealen barne energia soilik tenperaturaren menpekoa dela eta jouleren legea deitzen zaio.

11.6 TERMODINAMIKAREN LEHEN PRINTZIPIOA

Energiaren kontserbazio-printzipioaren ondorio bat dad, sistema isolatu baten barne-energia kontserbatu egiten dela. Halaber, sistema ez bada isolatua, orduan, termodinamikaren lehen printzipioa energien balantze bat baino ez da:sistemaren barne-energia aldatzen bada, izango da, kanpoaldetik hartu edo eman duelako.

Alde batetik, sistema termodinamikoak lana egiten duenean, bere barne-energia aldatu egingo da. Eta beste aldetik, beste sistema ezberdin batekin kontaktu termikoan jartzen dugunean, biek tenperatura ezberdinak badituzte, sistemaren egoera eta beraz, bere barne-energia ere, aldatzen da.

Lehenengoa ez da harritzekoa: partikula multzo baten energia alda daiteke kanpo indarrek lana egiten dutelako

Hemen Wkan kanpoko indarrek multzoarengan egindako lana da.

Adierazpen hori sistema termodinamikoetan aplikatu nahi badugu, oraingoz, kontaktu termikoak sahiestu behar ditugu. Hori lortzen da, sistema adiabatikoki isolatzen: adiabatikoki isolatutako sistema batean, ez dago energia-transferentziarik ingurunearen eta sistemaren artean eta, beraz, sistema termodinamikoaren energia aldatu beharko da, soilik, kanpo indarrek lana egin dutelako. Kanpo indarrek dira baina aurkako zeinua daukate. Ikasgai honetan, W, lana, beti izango da sistemak egiten duena kanpoaldearengan  

Hemen Wadiabatikoa sistema termodinamikoak kanpoaldearengan egindako lana da, adiabatikoki isolatua dagoelarik.

Bestalde, sistema ez badago adiabatikoki isolatua, orduan, sistemaren hormetan zehar ere, energia transferi daiteke. Sistema bero baten molekulek, hormaren kontra talka egitean, bere energiaren parte bat ematen diote sistema hotzari, eta mekanismo horrek behin eta berriz jarraitzen du oreka termikora iritsi arte. Horrelako kontaktu termikoaren bitartez, tenperatura ezberdina duen inguru batek sistemari transferitu dion energia-kantitateari, lehenago beroa deitu diogu. Sistemak kontaktu termikoaz energia irabazten duenean, beroa positibotzat hartuko dugu.

Termodinamikaren lehen printzipioak hauxe dio hain zuzen: sistemaren U barne-energia totala aldatzen da, inguruarekin energia transferitzen delako, hau da, sistemak beroa zurgatzen duenean, Q, barne-energia handitzen zaio, eta sistemak lana egiten duenean, W, barne energia gutxitzen zaio. Beraz lehen printzipio matematikoki honela adierazten da

Eta prozesu kuasiestatiko infinitesimal baterako honelaxe adieraziko da

Izatez, Q eta W prozesu-motaren menpekoak dira, alegia, sistemak hasieratik bukaeraino jarraitu duen eboluzio zehatzaren menpekoak, baina bien arteko kenketa, ordea, AU, prozesu-motaren independentea da, alegia, hasierako eta amaierako egoeren menpekoa baino ez da.

Soilik egoera termodinamikoaren menpekoak diren funtzioei, egoera-funtzio deritze. Horrelako funtzioei ez die eragiten nola atzematen den egoera hori, ezta nola eboluzionatu duen sistemak; ez dira prozesu-motaren menpekoak. Barne energia, hain zuzen, egoera-funtzioa da baldin, aldiz, Q beroa eta W lana ez. Presioa, bolumena eta tenperatura ere egoera-funtzioak dira. Egoera-funtzio diren aldagai termodinamikoen aldakuntza infinitesimalak honela adieraziko ditugu: dU.

Aldiz, egoera-funtzio ez diren aldagai termodinamikoen aldakuntza infinitesimalak honela adieraziko ditugu:

12.2 ENTROPIA: TERMODINAMIKAREN BIGARREN PRINTZIPIOA

Termodinamikak sistema makroskopikoak aztertzen ditu; horiek aldagai termodinamikoen bidez karakterizatzen dira. Orekan dagoen sistema baten aldagai termodinamikoak eta sistema horretan posible diren egoera makroskopikoak arlazionatuta daude. Aurreko gaian ikusi dugunez, sistema orekan egonez gero, aldagai termodinamikoak erlazionatuta daude magnitude mikroskopikoen batez besteko balioekin.

Sistema bat orekan dagoenean, bere egoera makroskopikoa ez da aldatzen eta beraz, aldagai termodinamikoek konstante irauten dute. Hala ere, ikuspegi mikroskopikotik, bere egoera etengabe aldatzen ari da. Sistema hori egon daiteke egoera termodinamikoarekin bateragarri diren hainbat eta hainbat egoera mikroskopikotan.

Egoera termodinamiko bati egoera mikroskopiko ezberdin asko dagokio. Pisu estatistikoa Ω honela definitzen da: egoera termodinamiko batekin bateragarri diren egoera mikroskopikoen kopurua. Definizio hau kontuan hartuz erraz ikus daiteke Ω egoera-funtzioa dela: Ω= Ω(V,T)

Adibidea:

Pisu estatistikoaren kontzeptua erraz azal dezakegu adibide sinple bat erabiliz: Bi eskualdeko kaxa atean lau bola banatuko ditugu. Bost egoera makroskopiko bereiz ditzakegu. Bi egoeratan ( a eta b) bola guztiak eskualde bakarrean daude, beste bitan (c etad ) hiru dauzkagu eskualde baten eta bakarra bestean, eta e kasu bina.

Egoera mikroskopiko bakoitza bolen banaketa berezi bat da. Hau da, lau bolak bereiztuz gero, 2. Irudiko mikroskopio biak egoera makroskopiko bakar bat (e) dira

Egoera makroskopiko baten pisu estatistikoa egoera mikroskopiko posibleen kopurua da, hau da, zenbat modu ezberdinetan bana daitezkeen bolak egoera makroskopiko bera mantenduz. Erraz ikus daiteje (e) egoera makroskopikoari sei egoera mikroskopiko dagozkiola, beraz egoera makroskopiko horren pisu estatistikoa 6 da. Halaber (c)  eta (d) egoera makroskopikoetarako lau banaketa dira posible: pisu estatistikoa = 4. Bolen banaketa erregularrena pisu estatistiko handienak dauka. Zenbat eta partikula gehiago izan handiagoa da pisu estatistikoa.

Oso erabilgarria da pisu estatistikoarekin zuzenki erlazionatuta dagoen egoera funtzio berri bat definitzea. Funtzio horri sistemaren entropia deritzo eta honela definitzen da: S = kb ln Ω

Sistemaren oreka egoera nolabait perturbatzen denean, sistemaren egoera aldatu egiten da beste oreka egoera ezberdin batera iritsi arte. Pisu estatistikoa eta entropia, egoera funtzioak direnez, aldatu egingo dira. Froga daiteke isolatuta dagoen sistema batean, pisu estatistikoa eta entropia beti handitu egiten direla. Gas baten espantsio librea kontsideratuko dugu.

Gas baten espantzio librean, batetik espantsioa da, V bolumenetik V’ bolumen handiagora doa. Eta bestetik librea da, alegia ez du lanik egiten inongo kanpo indarren kontra, eta ez du berorik elkarraldatzen inguruarekin.

Hasierako egoeran, gasaren molekula guztiak V bolumenean sartuta daude. Egoera horren pisu estatistikoa kalkulatzeko, N molekula horiek zenbat era ezberdinetan bana daitezkeen V bolumen horretan kalkulatuko beharko dugu.

Amaierako egoeran, gasaren molekula guztiak V’>V bolumenean sartuta daude. Egoera berriaren pisu estatistikoa berdin kalkulatzen da, zenbat era ezberdinetan bana daitezkeen N molekula horiek V’ bolumenean.

Bigarren egoeran pisu estatistikoa handiago dela erraz ikusi daiteke; gasak V volumena betetzen dutenari dagozkion egoera guztiak posible dira orain ere, baina orain badaude beste asko egoera berriarekin bateragarri direnak. Izan ere, molekulek V’ bolumena uniformeki betetzen duenari dagozkion egoera mikroskopikoen kopurua hain handia da V betetzen duenari dagozkionekin konparatuz, non ia ezinezkoa den sistema hau bakarrik V bolumena betetzen ikusterik. Beraz, gas ideal baten espantzioan pisu estatistikoa handitzen da, edozein sistema isolatuan, hauxe da termodinamikaren bigarren prinzipioa. Entropia eta pisu estatistikoa zuzenki erlazionatuta daudenez, termodinamikaren bigarren printzipioa honela adieraz dezakegu: Gerta daitezkeen prozezu fisiko guztietan, isolatutako sistema fisiko baten entropia beti handitzen da AS >0

Termodinamikaren bigarren printzipioa aplikatzeko sistema isolatua egon behar da.

Ez isolatutako sistema baten entropia gutxitzea posible da, baina beti inguruko entropia gehituz. Orduan multzo osoaren entropia gehitu egiten da, multzo osoa sistema isolatua kontsidera baitaiteke.

Bigarren printzipioa aplikatu ahal izateko, sistemaren eta inguruaren amaierako eta hasierako egoeren artean, entropia aldaketa kalkulatzeko gai izan behar gara. Multzo osoaren entropia aldaketa positiboa baldin bada, prozezua posiblea da naturan, negatiboa bada ez da inoiz gertatuko.

12.5  BIGARREN PRINTZIPIOAREN BESTE ADIERAZPENAK

Bigarren printzipioak esaten digu zein prozezu fisiko gerta daitekeen naturan eta zein ez. Orain, sistema termodinamikoen eboluzioari buruzko emaitza oso garrantzitsu batzuk frogatuko ditugu. Ondorengo emaitza hauek lehen adierazi dugun bigarren printzipioaren erabat baliokideak dira, eta bigarren printzipioaren adierazpen alternatibotzat har daitezke.

5.1 clausiuenadierazpena

Ez dago prozezu fisiko posiblerik zeinen efektu bakarra beroa tenperatu handiagoko foku batetik tenperatura txikiagoko foku batera eramatea den. Demagun T eta T’ tenperaturetan dauzkgun bi foku. T tenperaturan dagoen fokutik T’ tenperaturan dagoen fokura Q bero kopurua pasatzen denean, entropia aldaketa totala honako hau izango da

T’ tenperaturan dagoen fokuak zurgatu duen beroa T tenperaturan dagoen fokuak eman diona da. Sistema isolatu baten entropia beti handitzen denez

Beraz, T’

5.2 Kelvin-Planck-en adierazpena

Ez dago prozesu fisiko posiblerik, zeinen efektu bakarra foku baten energia termikoa osorik lan bilakatzen den.

Suposa dezagun energia termikoa, Q bero kopurua alegia, atera dezakegula T tenperaturan dagoen foku batetik eta osorik lan mekaniko bilakatu, beste efekturik gabe. Entropia-aldaketa prozesu honetan honako hau izango da

12.6 MOTORE TERMIKO. HOZKAILU. CARNOT-EN MOTOREA

Foku batetik beroa atera eta lan bilakatzen duten dispositiboei motore termiko deritze. Kelvin- Planck-en adierazpenak, energia termikoa osorik ezin dela lan bilakatu esaten digu. Lan egiteko, gutxienez bi foku, T eta T’ tenperaturetan behar dira.

Motore baten funtzionamenduan, M sistema termodinamiko batek ziklikoki eboluzionatzen du, T eta T’ tenperaturan dauden bi fokuekin kontaktuan egonda. Ziklo bakoitzean, sistemak Q bero kanttate bat xurgatzen du T tenperaturan dagoen fokutik, bero horren zati bat lan bilakatzen du (W) eta Q’ bero kantitate bat T’ tenperaturan dagoen fokuari ematen dio.

Ziklo oso bat egin eta gero, sistema hasierako oreka egoerara bueltatzen da. Sistemaren barne energia, egoera funtzioa denez, ez da aldatu. Termodinamikaren lehenengo printzipioa aplikatuz

Baina fokuek energia termikoa galdu eta irabazi egin dute, beraz euren egoera aldatu da. Oro har, motore baten etekin edoefizientzia deitzen da, egindako lana zati motoreak xurgatutako beroa: ɳ= W/Q, non Q, sistemak tenperatura handiagoko fokutik xurgatutako beroa den.

Kelvin plan ken termodinamikaren bigarren printzipioaren adierazpenak inplikatzen du motore termiko baten efizientzia beti dela bat baino txikiagoa. Motore termiko baten efizientziaren balio maximoa aurkitzeko termodinamikaren bigarren printzipioa erabil dezakegu. Zikloa jarraitzen ari den substantziaren entropiaren aldaketa zero da, egoera funtzioa delako entropia. Ziklo bakoitzean, T tenperatura handieneko fokuak Q bero kantitate bat ematen du, -Q zurgatzen du alegia. T’ tenperatura gutxieneko fokua aldiz, Q’ bero kopuru bat zurgatzen du. Fokuen entropiaren aldaketa honako hau izango da

Beraz, bi fokuen artean funtzionatzen duen motore termiko baten efizientziak honako baldintza hau bete behar du

Efizientzia maximoa lortzen duen motorea berdintasuna betetzen duena izango da, prozezu guztiak itzulgarriak dauzkana.Bi foku bkarrik daudenean egin daitezkeen prozezu itzulgarri posibleak isotermikoak eta adiabatikoak dira. Lehenendoan sistema kontaktuan dago foku batekin, bigarrenean isolaturik dago. Carnoten zikloa deritzo prozezu hauek dauzkan prozezuari:

A-b: T tenperatura handieneko fokuarekin kontaktuan, espantsio isotermiko itzulgarria

B-c: T’ tenperaturarainoko espantsio adiabatiko itzulgarria

C-d: T’ tenperatura txikieneko fokuarekin kontaktuan, konpresio isotermiko itzulgarria

D-a: T tenperaturarainoko konpresio adiabatiko itzulgarria

Carnoten motorea deritzo sistemak Carnoten zikloa jarraitzen duen motore termikoari. Itzulgarria denez, bere efizientzia maximoa ɳ= 1- T’/T

M sistemako gasak zikloa alderantziz jarraitzen duenean, motorea hozkailu

Bilakatzen da, foku hotzetik ateratzen da beroa, eta foku beroari eman,

baina hori lortzeko lan egin behar da zikloa jarraitzen duen sistema

termodinamikoaren gainean.