Historia de la derivada de una función

El cálculo diferencial básico (nivel bachillerato) nos permite resolver problemas de optimización
. En estos problemas, se desea encontrar los puntos de máximos y/o mínimos de una función, es decir, se maximiza o minimiza una función. 

Ejemplo de problema:

 Encontrar parejas de números x e y tales que y sea el doble del cuadrado de x y que la resta de sus cuadrados (x^2 - y^2) sea máxima. 
La función que debe optimizarse en este problema es f(x) = x^2 - y^2. 
Método de resolución:
Para resolver este tipo de problemas, seguiremos el siguiente esquema: 

• Encontrar la función que se debe maximizar o minimizar.
• Calcular la derivada de la función .
• Igualar a 0 la derivada de para encontrar los puntos críticos (puntos candidatos para ser extremos).
• Estudiar la monotonía de la función en los intervalos que determinan los puntos críticos para determinar si son o no extremos (criterio de la primera derivada)
  . Este paso se puede omitir si se aplica el criterio de la segunda derivada.
  

Resolución del problema del ejemplo:

La función que debemos maximizar es f(x) = x^2-y^2. Esta función tiene dos variables, pero como y debe ser el doble de x^2, tenemos que y = 2x^2. Sustituimos en la función: 

Derivamos: 

Puntos críticos: 

Los puntos críticos son x = 0 y 

Analizando la monotonía, la función tiene máximos en los puntos 

Por tanto, las parejas de números que buscamos son 

Enlace: 

24 Problemas resueltos de Optimizar

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