Guia Completa de Successions i Funcions Matemàtiques

Les Successions i els seus Termes

Les successions són cadenes il·limitades de nombres reals. Cadascun dels nombres que la formen és un terme i es designa amb una lletra o índex que indica el lloc que ocupa a la successió. El terme general és l'expressió algèbrica que permet calcular qualsevol terme en funció de l'índex.

Successions Recurrents i Progressions

Les successions recurrents són aquelles els termes de la qual es defineixen en funció del terme anterior a un de donat, d'acord amb una expressió algèbrica coneguda.

• Una successió de nombres racionals és una progressió aritmètica si cada terme s'obté a partir de l'anterior sumant-li un nombre fix o diferència que se sol representar amb d. El terme general és: A_n = A₁ + (n - 1) · d.
• Una successió de nombres racionals és una progressió geomètrica si cada terme s'obté a partir de l'anterior multiplicant-lo per un nombre fix o raó que se sol representar per r. El terme general és: A_n = A₁ · r^n-1.

Introducció a les Funcions

Quan existeix una relació de dependència entre dues magnituds, es diu que es pot expressar una magnitud en funció de l'altra. Una relació entre dues magnituds s'anomena funció si a cada valor de la primera li correspon un únic valor de la segona, que anomenem imatge o transformat.

La variable que es fixa prèviament és la variable independent i la variable que es dedueix de la variable independent és la dependent.

Continuïtat i Variació de les Funcions

Una funció és contínua si a petites variacions de la variable independent li corresponen petites variacions de la variable dependent; no hi ha punts de discontinuïtat. Per contra, una funció és discontínua ja que té salts; el punt on es produeix el salt és la discontinuïtat.

La taxa de variació d'una funció f(x) en un interval [a, b] és l'augment o disminució que experimenta la funció quan la variable independent passa del valor a al valor b: TV[a, b] = f(b) - f(a).

• Una funció és creixent en un interval si per a tot parell de valors en aquest interval la taxa de variació és positiva.
• Una funció és decreixent en un interval si per a tot parell de valors en aquest interval la taxa de variació és negativa.

Màxims, Mínims i Funcions Lineals

Una funció contínua té en un punt:

• Màxim relatiu: si a l'esquerra la funció creix i a la dreta decreix.
• Mínim relatiu: si a l'esquerra decreix i a la dreta creix.

Les funcions de la forma y = mx + n s'anomenen funcions lineals i la seva gràfica és una recta.