Guia de Càlcul Vectorial i Geometria en l'Espai

Càlcul d'Àrees i Volums amb Vectors

Àrea d'un paral·lelogram

L'àrea del paral·lelogram es defineix com el mòdul del producte vectorial dels dos vectors. El resultat s'obté calculant l'arrel quadrada de la suma dels components al quadrat.

Àrea d'un triangle a partir de punts

Per trobar l'àrea d'un triangle amb vèrtexs A, B i C, primer es calculen els vectors AB i AC (restant les coordenades dels punts). Amb els dos vectors trobats, es realitza el producte vectorial i al resultat se li aplica el mòdul (Pitàgores). Recorda que el resultat final s'ha de dividir per dos.

Àrea amb angle conegut

Per calcular l'àrea d'un paral·lelogram format per dos vectors u i v amb un angle de 30º, s'aplica la fórmula: |u| · |v| · sin(30º).

Volum del tetraedre i del paral·lelepípede

• Volum del tetraedre: Es calcula el determinant dels tres vectors i el resultat es divideix per 6.
• Volum del paral·lelepípede: Donats els punts A, B, C i D, es formen els vectors AB, AC i AD. El volum és el valor absolut del determinant d'aquests tres vectors.

Relacions de Perpendicularitat i Angle

Vectors perpendiculars

Es diu que dos vectors són perpendiculars si el seu producte escalar és igual a 0. Si es vol trobar un valor m perquè dos vectors no siguin perpendiculars, el producte escalar ha de donar un resultat diferent de zero.

Trobar un vector perpendicular a dos vectors

Per obtenir un nou vector que sigui perpendicular simultàniament a uns altres dos, s'ha d'utilitzar el producte vectorial.

Demostració de perpendicularitat múltiple

Per demostrar que un vector u és perpendicular a v i w, cal comprovar que els productes escalars u · v i u · w siguin ambdós iguals a zero.

Càlcul de l'angle entre vectors

Per trobar l'àrea o l'angle entre els vectors u i v, s'utilitza l'arc cosinus de la fracció on el numerador és el producte escalar dels components i el denominador és el producte dels mòduls (calculats mitjançant Pitàgores).

Propietats de les Bases i Dependència Lineal

Base ortonormal i ortogonal

Perquè tres vectors formin una base ortonormal, el seu determinant ha de ser igual a 1 (o -1). A més, han de ser ortogonals (el producte escalar entre ells ha de ser 0) i el mòdul de cadascun ha de ser igual a 1.

Capacitat per formar una base

Tres vectors poden formar una base si són linealment independents. Això es comprova fent el determinant; si el resultat és diferent de zero (per exemple, 5), llavors poden formar una base.

Dependència lineal i punts alineats

• Punts alineats: Per saber si tres punts (A, B, C) estan alineats, es calculen els vectors AB i AC. Si en dividir els seus components (primer per primer, segon per segon) els resultats coincideixen, els punts estan alineats.
• Vectors linealment dependents: Es comprova si u = k · v. Es divideixen els components dels vectors per veure si són paral·lels segons la proporcionalitat del resultat.

Altres Operacions Geomètriques

Càlcul del punt mig

El punt mig entre A i B es calcula mitjançant tres fraccions: per a cada coordenada, se suma el component de A amb el de B i es divideix per 2.

Projecció d'un vector sobre un altre

Per calcular les coordenades del vector projecció de v sobre u: es realitza el producte escalar dels components dividit pel quadrat del mòdul de u (ja que és sobre u on es projecta). El resultat escalar es multiplica pel vector u per obtenir els tres valors finals.

Càlcul del mòdul amb angle

Per trobar el mòdul d'un vector coneixent que l'angle és de 60º i el valor resultant és 5: s'iguala 5 al producte del mòdul pel cosinus de 60º. El vector buscat serà el resultat de dividir 5 pel producte del mòdul conegut i el cosinus de l'angle.