Fundamentos de Vectores: Propiedades, Operaciones y Tipos

Definición de Vector

Un vector es un segmento semidirigido que tiene un punto de origen y un punto extremo.

Características de un Vector

• La dirección: Es la recta sobre la que se encuentra el vector.
• El sentido: Lo indica la flecha del vector (puede ser creciente, decreciente o constante).
• El módulo: Es la longitud del vector.

Coordenadas de un Vector

Las coordenadas de un vector indican el camino que se debe seguir para llegar desde el punto de origen hasta el punto extremo.

El Módulo del Vector

• Se calcula hallando la raíz cuadrada de la suma de la primera coordenada al cuadrado más la segunda coordenada al cuadrado.
• La distancia entre dos puntos es equivalente al módulo del vector formado por dichos puntos.

Suma y Resta de Vectores

Para realizar estas operaciones, se suman o se restan las primeras coordenadas con las primeras y las segundas con las segundas.

Nota: No se pueden mezclar las primeras coordenadas con las segundas.

Producto de un Escalar por un Vector

Consiste en multiplicar un número real (escalar) por cada una de las coordenadas del vector.

Vectores Equipolentes

Dos vectores son equipolentes si tienen el mismo módulo, la misma dirección y el mismo sentido.

• Vectores con misma dirección: Se encuentran sobre rectas paralelas.
• Vectores con mismo sentido: La flecha de ambos apunta hacia la misma dirección.
• Vectores con mismo módulo: La longitud de la recta es la misma.

En los vectores equipolentes, las coordenadas son iguales, pero se diferencian en los puntos de aplicación; es decir, en su punto de origen y en su punto extremo.

Vectores Libres

El representante de todos los vectores equipolentes entre sí se denomina vector libre.

• Se denota generalmente con una letra minúscula.
• Se puede dibujar en cualquier posición del plano. Normalmente, se representa partiendo desde el origen de coordenadas.

Vector Unitario

Se denomina vector unitario a aquel cuyo módulo es igual a uno.

Para hallar el vector unitario a partir de un vector dado, se divide cada coordenada del vector original entre el valor de su módulo.

Forma Polar de un Vector

En esta representación, K es el módulo del vector y α (alfa) es el ángulo que forma el vector con el eje OX positivo.

El ángulo que forma el vector se denomina argumento.

• Para expresar un vector en forma polar, lo primero que se debe hacer es representar el vector gráficamente para identificar en qué cuadrante se encuentra el ángulo buscado.

Vectores Paralelos

Se dice que dos vectores son paralelos si tienen la misma dirección; es decir, las rectas sobre las que se encuentran deben ser paralelas entre sí.

Vectores Perpendiculares

Dos vectores son perpendiculares si sus direcciones forman un ángulo de 90°.

Combinación Lineal de Vectores

Se dice que un vector es una combinación lineal de otros dos si se puede expresar mediante la suma y/o resta de dichos vectores multiplicados por escalares.

Base Vectorial Canónica (i, j)

Cualquier vector se puede expresar como una combinación lineal del vector i y del vector j.

Conceptos de Ortogonalidad

• Vectores ortogonales: Se dice que los vectores son ortogonales si son perpendiculares entre sí.
• Vectores ortonormales: Dos vectores son ortonormales si son ortogonales y unitarios; es decir, son perpendiculares y su módulo es igual a uno.