Fundamentos de Vectores, Funciones y Trigonometría: Conceptos Esenciales

Vectores

Un vector es un segmento orientado definido por dos puntos, A y B, que determinan el vector AB. Un vector se compone de los siguientes elementos:

• Dirección: La recta sobre la que se encuentra el vector.
• Sentido: El extremo hacia donde apunta la flecha.
• Módulo: La longitud del segmento.
• Origen: El punto de inicio.

Vectores Libres

Se dice que dos vectores son equipolentes (representado como AB = CD) si tienen la misma dirección, módulo y sentido. Son paralelos y, aunque se prolonguen sus rectas hasta el infinito, nunca se cortarán. Al conjunto de todos estos vectores se les denomina vectores libres y se representan con letras minúsculas (ej. a).

Base Canónica

Son los vectores i y j, los cuales son vectores unitarios, es decir, su módulo es igual a 1. Son perpendiculares entre sí (90°). Se expresan de la siguiente forma: a = (x=2, y=4) = 2i + 4j.

Producto Escalar

El producto escalar ocurre cuando el vector a y el vector b forman un ángulo determinado.

Funciones

Una función es una relación de un conjunto D sobre R, de forma que a cada valor de D le corresponde un único valor de R.

Dominio de Definición

Al conjunto D se le llama dominio de definición de la función f. Por lo tanto, el dominio es el conjunto de valores de R para los cuales la función está definida, es decir, existe una imagen real para ellos.

Continuidad de una Función

Para que una función sea continua en un punto x₀, se deben cumplir las siguientes condiciones:

• f(x₀) debe estar definido.
• El límite cuando x → x₀ debe existir.
• Los límites laterales deben coincidir y ser finitos.
• El límite cuando x → x₀ debe ser igual al valor de la función f(x₀).

Trigonometría

Razones Trigonométricas

• Triángulo ADE: sen a = DE/AD = DE/cos b → DE = sen a · cos b; cos a = AE/AD = AE/cos b → AE = cos a · cos b.
• Triángulo BCD: sen a = BC/BD = BC/sen b → BC = sen a · sen b; cos a = CD/BD = CD/sen b → CD = cos a · sen b.

Suma de Ángulos

Para obtener las razones trigonométricas de la suma de ángulos:

• sen(a+b) = BF/1 = BF = CE = DE + CD = sen a · cos b + cos a · sen b
• cos(a+b) = AF/1 = AF = AE - FE = AE - BC = cos a · cos b - sen a · sen b
• tg(a+b) = (sen(a+b)) / cos(a+b) = (sen a · cos b + cos a · sen b) / (cos a · cos b - sen a · sen b)

Si dividimos todo entre cos a · cos b, obtenemos la identidad: tg(a+b) = (tg a + tg b) / (1 - tg a · tg b).