Fundamentos de Vectores, Campos y Geometría de Masas: Conceptos Clave

Vectores

Definiciones fundamentales:

• Momento de una fuerza aplicado en A respecto a O: ...
• Momento respecto a otro punto P: ...
• Momento áxico: ...
• SVD (Sistemas de Vectores Deslizantes): (+componentes).
• Momento resultante: ...
• Momento respecto a otro punto Q: ...
• Automomento: ...
• Momento mínimo: ...

Cálculo del eje central

1. Cálculo del momento resultante en un punto P genérico: $M_{pr} = M_{ro} + \vec{PO} \times \vec{R}$
2. Imponer paralelismo: $\frac{M_{prx}}{R_x} = \frac{M_{pry}}{R_y} = \frac{M_{prz}}{R_z}$ (esto define el eje en forma continua).

Campos

Líneas de campo: $\frac{V_x}{dx} = \frac{V_y}{dy} = \frac{V_z}{dz}$. Integrando: $\ln x = \ln y + c_1 = \ln(y \cdot c'_1) \rightarrow x = c'_1 \cdot y$, $x = c'_2 \cdot z$.

• Si div = 0, el campo es solenoidal.
• Si rot = 0, el campo es irrotacional o conservativo.

El gradiente de un campo escalar es siempre conservativo. Demostración: la circulación de un campo conservativo (rot = 0) no depende del camino y es igual a $U_b - U_a$.

Método para calcular la circulación

1. Hallar la curva que une los puntos A y B (expresándola como intersección de dos planos).
2. Realizar el producto escalar $\vec{V} \cdot d\vec{l}$ (donde $d\vec{l} = dx + dy + dz$).
3. Particularizar en la curva (con la curva y su derivada, dejar todo en función de una sola variable).
4. Resolver la integral.

Flujo de campo en una superficie

Se utiliza el Teorema de Gauss. Si la divergencia es constante:

1. Ecuación de la superficie.
2. Producto escalar $\vec{E} \cdot d\vec{s}$.
3. Particularizar en la superficie (ejemplo: $y = 0.7x$, sustituir en el producto).
4. Integrar, extraer constantes y resolver la integral de superficie.

Trabajo

El trabajo es la circulación de un campo de fuerzas. Si tenemos un campo conservativo, en vez de $W$ usamos $V$, siendo $V = -U$ ($U$ es el campo escalar del que deriva), donde $\vec{F} = \text{grad } U = -\text{grad } V$. El trabajo queda: $W = U_b - U_a = V_a - V_b = -\Delta V$.

Campo gravitatorio

Ley de Newton: Campo de fuerzas en el que a cada masa puntual se le asocia la fuerza con la que atrae a otra masa unidad. Es un campo central y conservativo, por lo que deriva de un potencial gravitatorio (convenio: $V = 0$ para $r \rightarrow \infty$, por tanto $C = 0$).

• Fuerza gravitatoria sobre masa m: $\vec{F} = m \cdot \vec{E}$ (N/kg).
• Energía potencial de masa m: $E_p = m \cdot V = -\frac{GMm}{r}$ (J/kg).
• Trabajo para llevar una masa m de A a B: $W = m(V_a - V_b)$, no depende del camino.

Campo gravitatorio para masas continuas: Se considera $m'$ como la masa en el interior de la superficie (aquella en la que $\vec{E}$ es constante y el ángulo entre $\vec{E}$ y $d\vec{s}$ es constante). Si no se proporciona la masa, se obtiene según la distribución de masas ($dm = \lambda dl, \sigma ds$ o $\rho dv$). El potencial se calcula igual que en masas puntuales.

Geometría de masas

Figuras compuestas:

1. Establecer ejes de referencia.
2. Situar el centro de gravedad (CG) de cada pieza.
3. Hallar las coordenadas de dichos centros.
4. Aplicar las fórmulas como en sistemas discretos. Si no dan la masa, se asume distribución constante: $m = \rho \cdot V$.