Fundamentos del Transformador Ideal, Teorema de Thévenin y Varímetro

Transformador Ideal

El transformador ideal constituye un caso de dos bobinas acopladas. Consta de dos bobinas devanadas sobre un núcleo férrico.

Hipótesis

• Bobinas devanadas sobre núcleo ideal (μ → ∞).
• Acoplamiento perfecto: k = 1.
• L₁, L₂ y M → ∞.

Relación de tensiones

Introduciendo en las ecuaciones u-i de las bobinas acopladas la condición de M = √(L₁L₂):

• u₁ = L₁Di₁ + √(L₁L₂)Di₂ = √L₁(√L₁Di₁ + √L₂Di₂)
• u₂ = √(L₁L₂)Di₁ + L₂Di₂ = √L₂(√L₁Di₁ + √L₂Di₂)

Dividiendo miembro a miembro: u₁/u₂ = √(L₁/L₂). Como L₁/L₂ = N₁²/N₂², entonces N₁/N₂ = √(L₁/L₂).

• Relación de transformación (n): n = N₁/N₂
• Relación final de tensiones: u₁/u₂ = n

Relación de corrientes

Considerando w(t) = 0:

w(t) = 1/2 L₁i₁² + 1/2 L₂i₂² + Mi₁i₂ = 0

Tomando i₁ como incógnita e i₂ constante:

L₁i₁² + L₂i₂² + 2Mi₁i₂ = 0

i₁² + 2i₂i₁/n + (i₂/n)² = 0

i₁ = -i₂/n ⇒ n = -i₂/i₁

Consecuencias

• El transformador ideal transmite energía, pero no almacena ni disipa.
• Convertidor de impedancia: Z₁ = n² · Z₂.

Teorema de Thévenin

Definición y demostración

• Enunciado: Toda red activa lineal, entre dos de sus terminales, es equivalente a su circuito pasivo en serie con una fuente ideal de tensión cuya fem es la tensión a circuito abierto de la original.
• Esquema: CA ↔ CP + e_th (donde e_th = u₀/Z_th).

CA = Circuito activo, CP = Circuito pasivo y fuentes dependientes, u₀ = Tensión a circuito abierto, e_th = Fuente ideal de tensión, Z_th = Impedancia de entrada del CP.

Demostración

Basada en el concepto de equivalencia, cualquier carga conectada a ambos circuitos debe originar la misma ecuación. Eligiendo como carga una fuente ideal de corriente j, se determina el valor de la tensión en ambas redes aplicando el principio de superposición:

• En la red original: CA (con fuente de corriente y cerrado u') ↔ CA (circuito abierto u₀) + CP (fuente de corriente y cerrado u_j'), resultando u' = u₀ + u_j.
• Para la red equivalente: CP (con e_th y fuente de corriente u'') ↔ CP (con e_th y abierto) + CP (con fuente de corriente u_j' y cerrado), resultando u'' = e_th + u_j.

Para que ambas redes sean equivalentes: u' = u'', por lo tanto, e_th = u₀.

Varímetro

Es un medidor de potencia reactiva, construido a partir de un vatímetro cuya bobina voltimétrica es prácticamente inductiva pura (desfasada 90°).

Montaje y lectura

• Visto desde la carga: var = Q_z = |U_z| · I · cos(I_u, I) = U_z · I · sin(φ)
• Visto desde la alimentación: var = Q_E = |E| · I · cos(I_u, I) = E · I · sin(φ)