Fundamentos de Transferencia de Calor, Masa y Cantidad de Movimiento: Leyes, Números Adimensionales y Mecánica de Fluidos Computacional

Transferencia de calor, masa y cantidad de movimiento

Conducción de calor: ley de Fourier

Calor por conducción: Q_c = ∫ q·n·dS. Hipótesis: q_i = k_ij·∂T/∂x_j = k·δ_ij·∂T/∂x_j = -k·∇T.

Difusión de masa: ley de Fick

Se consideran ρ_i(x,t), Y_i = ρ_i/ρ, v_i = v + v_di, flujo (ρ_i·v_di·n·dS), Σρ_i·v_di = 0.

Flujo másico: ṁ_di = ∫ρ_i·v_di·n·dS; f_i = ρ_i·v_di = ρ·D_i·∇(ρ_i/ρ). Hipótesis aplicadas.

Transporte molecular de cantidad de movimiento: ley de Newton

Gradiente de magnitud vectorial, v(x,t) = u(x,t)·e₁, ζ₁₂ → v no uniforme. Viscosidad: fuerzas de cohesión en líquidos y velocidad de agitación y flujo molecular en gases.

ζ₁₂ = ζ₂₁ = μ·∂U₁/∂x₂. Hipótesis aplicadas.

Interpretación desde la teoría cinética de los gases

Sea l el camino libre medio, ΔT ≈ l·∂T/∂x, (ΔY_a, Δv), velocidad de agitación → temperatura, flujo de calor (q ≈ ρ·c_p·v_a·ΔT), (flujo másico f_i, flujo de cantidad de movimiento ζ).

Sustituyendo con las leyes anteriores:

• v_a·l ≈ k/(ρ·c_p) (difusividad térmica) ≈ D (difusividad másica) ≈ μ/ρ (viscosidad cinemática)

Números adimensionales asociados:

• Número de Prandtl: Pr = D_CDM/D_térmica = μ·c_p/k
• Número de Schmidt: Sc = D_CDM/D_másica = μ/(ρ·D)
• Número de Lewis: Le = D_másica/D_térmica = ρ·c_p·D/k

Cinemática del medio continuo

Derivada sustancial y aceleración

Sea Φ una magnitud escalar intensiva, Φ(x,t):

DΦ/Dt = ∂Φ/∂x·dx/dt + ... + ∂Φ/∂t = ∂Φ/∂t (derivada local) + v·∇Φ (derivada convectiva).

Aceleración: a_i = ∂v_i/∂t + v_j·∂v_i/∂x_j.

Movimiento en el entorno de un punto: tensor gradiente de velocidad

Relación entre esfuerzo y velocidad de deformación:

dv = (v(x+dx,t) − v(x,t))/dx·dx = Δv·dx, dv_i = (∂v_i/∂x_j)·dx_j

∂v_i/∂x_j = ½(∂v_i/∂x_j + ∂v_j/∂x_i) + ½(∂v_i/∂x_j − ∂v_j/∂x_i) = ε_ij (tensor velocidad de deformación) + Γ_ij (tensor velocidad de giro).

Tensor velocidad de deformación: interpretación física y divergencia

• Traslación: no hay gradiente de velocidad ni deformación (v₁dt, v₂dt, v₃dt).
• Deformación lineal: alargamientos unitarios ε₁₁ = Δl/l = (Δdx₁/dx₁) = (∂v₁/∂x₁)·dt = e₁₁·dt. Elementos de la diagonal del tensor de deformación.
• Deformación angular: dα₁ + dα₂ = (∂v₁/∂x₂ + ∂v₂/∂x₁)·dt. Elementos fuera de la diagonal, la mitad de la velocidad de deformación del ángulo recto.
• Divergencia: traza del tensor de deformación, div v = ∂v₁/∂x₁ + ∂v₂/∂x₂ + ∂v₃/∂x₃ = ε₁₁ + ε₂₂ + ε₃₃. Considerando el volumen en t y t+dt: (dV' − dV)/dV = div v·dt → div v = (Δ(dV)/dV)·1/dt.

Si div v > 0 el fluido se dilata; si div v < 0 se contrae; si div v = 0 no hay variación de volumen.

Tensor de rotación, vorticidad y movimientos irrotacionales

Sean a = 45°, b = dα₂ + a, c = (90 − (dα₁ + dα₂))/2, dα₁ = (∂v₁/∂x₂)·dt, dα₂ = (∂v₂/∂x₁)·dt.

Ángulo/tiempo = CA'C'/dt = ½(∂v₂/∂x₁ − ∂v₁/∂x₂) = Ω₃.

Γ_ij = [[0, −Ω₃, Ω₂], [Ω₃, 0, −Ω₁], [−Ω₂, Ω₁, 0]], Ω = ½·rot v, Γ = rot v = 2Ω.

Si rot v = 0 → movimiento irrotacional → v = ∇Φ = (∂Φ/∂x, ∂Φ/∂y, ∂Φ/∂z).

Mecánica de fluidos computacional (CFD)

Definición: ciencia que estudia la solución numérica de las ecuaciones del fluido en el espacio y el tiempo.

Aplicaciones: aerodinámica, medio ambiente, climatización, equipos generadores de potencia, instalaciones hidráulicas, análisis térmicos, medicina e industria química.

Ventajas:

• Menor coste.
• Posibilidad de verificar resultados teóricos.
• Información completa en 3D.
• Afronta problemas de mecánica de fluidos complejos.

Inconvenientes:

• Fiabilidad ligada a la formulación matemática.
• Tiempo de cálculo.

Números adimensionales en mecánica de fluidos

Número de Strouhal

St = t_transitorio/t_convectivo = (ρ_o·u_o/t_o)/(ρ_o·u_o²/L) = L/(u_o·t_o) = (L/u_o)/t_o.

• L/u_o: tiempo de tránsito.
• t_o: tiempo característico.
• Si el tiempo de tránsito es mayor que el característico → transitorio.
• St ≫ 1 → transitorio; St ≪ 1 → estacionario.

Número de Reynolds

Mide la importancia de los esfuerzos viscosos: Re = t_convectivo/t_viscoso = ρ·v·D/μ.

• ρvD: fuerzas de inercia.
• μ: fuerzas viscosas.
• Re ≫ 1 → fluido ideal.
• Régimen laminar: μ importante, Re < 2300.
• Régimen turbulento: μ no importante.

Número de Froude

Fr = v²/(g·L) = (v²/L)/g, con v²/L (fuerzas de inercia) y g (fuerzas másicas).

• Fr ≫ 1 → fuerzas másicas despreciables.
• Fr ≪ 1 → fuerzas másicas dominantes.

Número de Weber

We = fuerzas másicas/fuerzas de tensión superficial = ρ·V²·L/σ, con σ la tensión superficial. We ≫ 1 → fuerzas de tensión superficial despreciables.

Número de Péclet

Pe = transporte convectivo de calor/transporte difusivo de calor = ρ·v·L/(k/c_p), donde ρvL es el transporte por convección y k/c_p el transporte por conducción.

Número de Prandtl

Pr = Pe/Re = transporte molecular de cantidad de movimiento/transporte molecular de calor = μ/(k/c_p).

• Pr = 1 → gas.
• Pr ≫ 1 → líquidos.
• Pr ≪ 1 → metal líquido.

Número de Euler

Eu = ΔP/(½·ρ·v²), donde ΔP es la fuerza de presión.

Número de Mach

M = v/√(γRT) = v/a, con v la velocidad del fluido y a la velocidad del sonido.

• M ≤ 0,3 → fluido incompresible (ρ = cte).
• M < 1 → flujo subsónico.
• M = 1 → flujo sónico.
• M > 1 → flujo supersónico.