Fundamentos de Teoría de Conjuntos y Relaciones Matemáticas

Operaciones Fundamentales con Conjuntos

Intersección

Es el conjunto de todos los elementos contenidos en todos los conjuntos. Se define como: {x | x está en A y x está en B}.

• A ∩ C = {a, c}
• B ∩ C = {2, 3}
• A = {a, b, c}, B = {1, 2, 3}, C = {a, 2, 3, c, d}

Diferencia

Es el conjunto de elementos que no se encuentran en los demás conjuntos. Se define como: {x | x está en A y x no está en B}.

• A - B = {a, 2}
• B - A = {4, 6}
• A = {a, b, 1, 2, 3}, B = {b, 3, 4, 6}

Producto Cartesiano

Es el conjunto de pares ordenados (a, b) tal que a está en el conjunto A y b está en B. El tamaño del producto cartesiano es el producto de las cardinalidades de A y B.

• A = {a, b, c}, B = {1, 2, 3}
• A × B = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3), (c, 1), (c, 2), (c, 3)}

Conjunto Potencia

Es el conjunto formado por todos los subconjuntos de A (denotado como 2^A).

• A = {a, b, c}
• 2^A = {∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}}

Cardinalidad

La cardinalidad, denotada como n(A), se define como la cantidad de elementos que contiene dicho conjunto.

• Ejemplo: A = {los meses del año}, n(A) = 12

Multiconjuntos

Un multiconjunto difiere de un conjunto estándar en que cada miembro tiene asociada una multiplicidad, indicando cuántas veces el elemento es miembro del conjunto.

• A = {a, a, b, b, c} → A = {a=2, b=2, c=1}

Relaciones Matemáticas

Es un conjunto bien definido de pares ordenados. Los elementos en primer lugar conforman el dominio, mientras que los elementos en segundo lugar conforman el rango o codominio.

Si establecemos una relación entre los elementos de un mismo conjunto, existen 3 propiedades fundamentales:

1. Reflexiva

Todos los elementos de un conjunto están relacionados con sí mismos (ejemplo: "es igual a").

• A = {1, 2, 3}
• R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3)}

2. Simétrica

Si un elemento está relacionado con otro, este segundo está relacionado con el primero (ejemplo: "es de igual tamaño que").

• R = {(1, 2), (2, 1), (1, 3), (3, 1), (2, 3), (3, 2)}

3. Transitiva

Si un elemento está relacionado con otro y este a su vez con un tercero, el primer elemento está relacionado con el tercero (ejemplo: "es mayor que").

• R = {(1, 2), (2, 3), (1, 3)}