Fundamentos y Procedimientos de la Inversión Geométrica en el Plano

Procedimientos Fundamentales de la Inversión Geométrica

1. Determinación del punto inverso de B

Dado el Centro de Inversión O y un par de puntos inversos A, A’, para determinar el punto inverso de B:

• Dibujar la circunferencia que pasa por A, A’ y B.
• Trazar las mediatrices de los segmentos A-A’ y A-B. El punto de intersección es el centro de la circunferencia buscada.
• Unir B con el Centro de Inversión para obtener B’.

2. Determinación del punto inverso de A mediante la Circunferencia de Puntos Dobles

Dado el Centro de Inversión O y el valor de la inversión OT:

• Dibujar una circunferencia de radio OT con centro en O (Circunferencia de Puntos Dobles).
• Tomar un punto T cualquiera de la circunferencia.
• Dibujar la mediatriz del segmento A-T y la tangente a la circunferencia por T.
• En la intersección de ambas rectas se encuentra el centro C de una circunferencia de radio C-T que contiene el inverso de A.
• Unir O con A para encontrar el punto resultante.

3. Determinación del punto inverso de D con dos pares de puntos inversos

Dados dos pares de puntos inversos A, A’ y B, B’:

• En la intersección de las rectas A-A’ con B-B’ se encuentra el Centro de Inversión.
• Dibujar la circunferencia que pasa por los puntos A, A’ y D.
• Unir O con D para obtener D’ sobre dicha circunferencia.

Propiedades de las Figuras Inversas

1. Inversa de una recta que pasa por el Centro de Inversión

La inversa de una recta que pasa por el Centro de Inversión es ella misma.

Dados un Centro de Inversión O, un par de puntos inversos A, A’ y un punto B:

1. Tomar un punto C aleatorio que no pertenezca a la recta y dibujar la circunferencia que contiene a A, A’ y C. Dado que dos pares de puntos inversos siempre forman una circunferencia, C’ estará en esta.
2. Dibujar la circunferencia que pasa por C, C’ y B. En el punto de corte de esta circunferencia con la recta A-A’ se encuentra B’.

2. Inversa de una recta que no pasa por el Centro de Inversión

La inversa de una recta que no pasa por el Centro de Inversión es una circunferencia que sí pasa por el Centro de Inversión.

1. Dibujar la recta perpendicular a la dada que pase por el Centro de Inversión. Sobre esta recta se encontrará el centro.
2. Tomar un punto cualquiera B de la recta y encontrar su inverso B’, haciendo pasar una circunferencia por A, A’ y B.
3. Dibujar la mediatriz de O-B’, ya que la circunferencia debe pasar por ambos puntos. Esta determinará el centro de la circunferencia inversa de r, cuyo radio será O-B’.

3. Inversa de una circunferencia que pasa por el Centro de Inversión

La inversa de una circunferencia que pasa por el Centro de Inversión es una recta que no pasa por el Centro de Inversión.

Este es el caso complementario del anterior. Dados un Centro de Inversión, un par de puntos inversos y una circunferencia, la recta inversa será perpendicular a la recta O-C. Por tanto, dibujar la recta O-C y su perpendicular por el punto A’.

4. Inversa de una circunferencia que no pasa por el Centro de Inversión

La inversa de una circunferencia que no pasa por el Centro de Inversión es otra circunferencia homotética de la primera.

1. Unir el centro de la circunferencia con el Centro de Inversión. Sobre esta recta estará el centro de la circunferencia inversa.
2. Dibujar la recta tangente a la circunferencia desde el Centro de Inversión (dibujar la mediatriz del segmento O-C y desde el punto medio M trazar un arco de circunferencia con radio M-O). Los puntos de corte determinan los puntos de tangencia T.
3. Hallar el inverso T’ del punto de tangencia T. Este se encontrará en la circunferencia que pasa por T, A y A’.
4. Por el punto T’, pasar una perpendicular a la recta O-T; esto definirá el centro de la circunferencia inversa.

5. Inversa de una circunferencia que pasa por un par de puntos inversos

La inversa de una circunferencia que pasa por un par de puntos inversos es inversa de sí misma.