Fundamentos de Probabilidad, Eventos y Teorema de Bayes

Introducción a la Probabilidad y Eventos

Eventos Mutuamente Excluyentes

¿Cuál de los siguientes pares de eventos son mutuamente excluyentes entre sí?

• Haber obtenido una nota mayor a 4 en un examen.
• Haber obtenido una nota menor a 2 en ese mismo examen.

Cálculo de Probabilidades en Eventos No Excluyentes

¿Cómo se calcula la probabilidad de P(A ∪ B) si A y B son eventos no mutuamente excluyentes?

Respuesta: P(A) + P(B) - P(A ∩ B)

Independencia de Eventos

Si dos eventos son tales que P(A) = 0,4 y P(B) = 0,3 y además se sabe que ambos son independientes, calcula P(A ∩ B).

RTA: P(A ∩ B) = 0,12

Si A y B son elementos mutuamente excluyentes y se sabe que P(A) = 0,25 y P(B) = 0,45, ¿puede asegurarse que los eventos son independientes?

RTA: No podemos afirmar que A y B son independientes, pues no se cumple la regla de la multiplicación para eventos independientes.

Dos eventos cuyas probabilidades son distintas de cero, ¿pueden ser mutuamente excluyentes e independientes?

Respuesta: Falso.

Espacio Muestral y Propiedades

Eventos Colectivamente Exhaustivos

Los siguientes eventos son mutuamente excluyentes: A, B, C. Estos eventos están incluidos en el espacio muestral de S. Se verifica que P(A ∪ B ∪ C) = 1. Indica cuáles de las siguientes proposiciones son correctas para este caso (seleccione las 3 respuestas correctas):

1. Los eventos A, B y C son colectivamente exhaustivos.
2. P(A ∪ B ∪ C) = P(S).
3. P(A ∩ B ∩ C) = 0.

Relaciones en el Espacio Muestral

Si M y N pertenecen al espacio muestral S, y se cumple que: P(M ∪ N) < P(M) + P(N), indica cuáles de las siguientes proposiciones son correctas (ten en cuenta que ninguna de las probabilidades es igual a cero). Seleccione las 3 respuestas correctas:

1. N está incluida en M.
2. M y N son complementarios.
3. M y N son mutuamente excluyentes.

Si para hacer una investigación se toman todos los elementos de la población, a esta acción se la llama:

Respuesta: CENSO.

Definiciones y Axiomas

Naturaleza de la Probabilidad

La probabilidad de un evento es (seleccione las 2 respuestas correctas):

1. Una medida numérica de la posibilidad de que ocurra el evento.
2. Una medida del grado de incertidumbre asociado con el evento.

Enfoques de Probabilidad

El equipo de desarrollo de un producto indica que este tiene una probabilidad de éxito de 0,6. En cambio, el presidente de la empresa es menos optimista y dice que el producto tiene una probabilidad de 0,3 de éxito. ¿De qué tipo de enfoque de probabilidad estamos hablando?

Respuesta: Enfoque subjetivo.

Axiomas Fundamentales

Según los axiomas de la probabilidad, ¿un evento tiene un valor?

Respuesta: Comprendido en el intervalo real [0 ; 1].

Si A y B son eventos complementarios, entonces puede afirmarse que P(A ∩ B) = 0.

Respuesta: VERDADERO.

Ejercicios Prácticos de Aplicación

Lanzamiento de Dados y Monedas

¿Cuáles de los siguientes eventos son mutuamente excluyentes al lanzar un dado una vez?

RTA: Evento A: que salga un número par. Evento B: que salga un 1 o 3 o 5.

La probabilidad de tirar un dado dos veces consecutivas y que salga las dos veces un cinco, es:

Respuesta: P(5 ∩ 5) = 1/36.

Se lanza una moneda perfectamente balanceada, dos veces consecutivas. Si queremos calcular la posibilidad de que salga por lo menos una cara:

Cálculo: 1 - P(X ∩ X) = 1 - 1/4 = 3/4.

Se lanza una moneda perfectamente balanceada, dos veces sucesivas, ¿cuál es la probabilidad de que salga cara en los dos lanzamientos?

RTA: P(C ∩ C) = 1/4.

Extracción de Bolillas y Materiales

Si en un experimento se extraen 3 bolillas sucesivamente, sin reponerlas y en forma aleatoria, de un bolillero que tiene 3 bolillas rojas, 2 blancas y 5 negras, determina la probabilidad de sacar una bolilla negra en la primera extracción y las 2 blancas en las otras dos extracciones.

Respuesta: P(N ∩ B ∩ B) = 0,0139.

Si hay una probabilidad de 4/13 de que un embarque de material para laboratorio llegue a tiempo, la probabilidad de que dicho material no llegue a tiempo es de 1.

Respuesta: Falso.

Probabilidad Condicional y Teorema de Bayes

Fórmulas de Condicionalidad

¿Cuál es la fórmula que se utiliza para calcular la probabilidad condicional P(A|B)?

Respuesta: P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B)

Aplicación del Teorema de Bayes

¿Cuáles son los elementos a tener en cuenta para saber si es conveniente utilizar el Teorema de Bayes, siempre que sea posible? Seleccione las 4 (cuatro) respuestas correctas:

1. Contar con los datos a priori, que son probabilidades simples excluyentes y exhaustivas.
2. Contar con datos que son probabilidades condicionales o conjuntas.
3. Que se desee saber la probabilidad de la causa si se tiene nueva información.
4. Que se quiera calcular una probabilidad condicional que es inversa a la probabilidad condicional que se da como dato.