Fundamentos de Probabilidad y Cálculo Diferencial: Fórmulas y Aplicaciones Prácticas

Probabilidad: Fórmulas y Conceptos Fundamentales

Operaciones y Relaciones entre Sucesos

• Unión de sucesos: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
• Diferencia de sucesos: P(A ∩ Bᶜ) = P(A) - P(A ∩ B)
• Leyes de De Morgan: P(Aᶜ ∩ Bᶜ) = 1 - P(A ∪ B)
• Sucesos independientes: P(A ∩ B) = P(A) x P(B)
• Sucesos no independientes: P(A ∩ B) ≠ P(A) x P(B)
• Sucesos incompatibles: P(A ∩ B) = 0
• Sucesos compatibles: P(A ∩ B) ≠ 0

Teoremas de Probabilidad

• Teorema de la Probabilidad Total (TPT): P(N) = P(A) x P(N/A) + P(B) x P(N/B) + P(C) x P(N/C)
• Teorema de Bayes: P(A/B) = P(A ∩ B) / P(B), también expresado como [P(A) - P(A ∩ B)] / P(B)

Cálculo Diferencial: Resolución de Problemas y Parámetros

Procedimiento General para Hallar Parámetros

Cuando el problema nos proporciona el extremo, el punto y la pendiente, seguimos estos pasos:

1. Igualamos la función al número Y del punto y sustituimos la X por el número del punto.
2. Derivamos la función, sustituimos la X por el número del extremo e igualamos a cero.
3. En la derivada, sustituimos la X por el número del punto e igualamos al número de la pendiente.
4. Sustituimos la letra que falte para completar el sistema.

La Ecuación de la Recta Tangente

Para un valor dado, por ejemplo x = 4, la fórmula es: y - f(4) = f'(4) · (x - 4).

1. Sustituyes el 4 en la X de la función original.
2. Realizas la derivada y sustituyes la x por el 4.
3. Sustituyes los valores obtenidos en la fórmula.

Casos Específicos de Cálculo de Parámetros (a, b, c)

Caso 1: Dados la función F, un extremo y un punto

Calculamos la derivada y luego el extremo relativo (x = ?), donde f'(?) se iguala a cero. Después, tomamos el punto g(?) y se iguala a la Y.

Caso 2: Dados la función F, un extremo y la recta tangente

Calculamos la derivada. Para el extremo (x = ?), se iguala a cero. Para la tangente, se iguala la derivada en el punto a la pendiente (f'(?) = m).

Caso 3: Dada la función F y la pendiente (m)

Calculamos la derivada de la función y la igualamos a m. Con el valor de x resultante, aplicamos la fórmula de la recta.

Caso 4: Dados la función F, un extremo y un punto (para a y b)

Calculamos la derivada. Tomamos el punto y sustituimos la X en la función f(x) e igualamos con la Y. Resolvemos el sistema utilizando el valor 0 en la derivada para el extremo.

Caso 5: Dados la función F, un punto y la pendiente (m)

Calculamos la derivada. Usamos el punto f(?) y lo igualamos a la y. Para la tangente, con la derivada se toma la x del punto y se iguala a la m.

Optimización y Estudio de Funciones

Aplicaciones Prácticas

• Beneficio positivo: Para determinar el beneficio positivo, igualamos la función a cero y estudiamos el signo.
• Cálculo de tiempos: Para determinar las horas o momentos críticos, utilizamos la primera derivada.
• Máximos y valores monetarios: Calculamos el máximo y sustituimos en la función de beneficio para conocer los euros resultantes.
• Intervalos: Cuando pidan intervalos y ya tengamos la derivada, igualamos a cero para encontrar los puntos de corte.

Regla de Derivación del Cociente

Se define como: la derivada del de arriba por el de abajo sin derivar, menos el de arriba sin derivar por la derivada del de abajo.