Fundamentos de Modelos ARIMA y Métodos de Topografía Aplicada

Metodología para el Modelado de Series Temporales

El proceso de modelado se divide en cinco etapas fundamentales:

1. Identificación
2. Estimación
3. Validación
4. Predicción
5. Evaluación

1. Identificación

Se debe evaluar la estacionalidad (¿se repiten ciclos?), máximos y mínimos, valores atípicos (tabla Wiss Ballot), disminuciones o aumentos, y la tendencia. Si el valor y el periodo son altos, existe tendencia.

• Función de Autocorrelación (FAC): Se analiza la dinámica, los coeficientes significativos y las tablas de periodos.
• Tendencia y Test de Dickey-Fuller: Si el valor del estadístico es menor a los valores críticos, no se puede rechazar la hipótesis nula (H₀), lo que implica la existencia de una raíz unitaria (tendencia).
• Primeras diferencias: Permiten eliminar la tendencia, aunque no necesariamente la estacionalidad o los ciclos.
• Test de Ljung-Box: Se utiliza para verificar la aleatoriedad (ruido blanco). Si el estadístico del test es mayor al valor crítico (36.42 para k=24), se rechaza la hipótesis de ruido blanco, confirmando la existencia de ciclos.

2. Estimación

• T-Student: Para que un modelo ARIMA sea válido, los parámetros deben ser significativos.
• P-valor: Se busca un valor inferior a 0.05.

3. Validación

• Residuos: Deben carecer de tendencia y ciclos. Se comprueban mediante autocorrelación, periodograma y el test de Ljung-Box.
• Función de Autocorrelación: El objetivo es que no exista relación entre residuos (ruido blanco), indicando que el modelo ha capturado toda la variabilidad.
• Periodograma: Si las ordenadas son muy bajas en todas las frecuencias, se confirma que los residuos son blancos.
• Test de Ljung-Box: Si el estadístico es menor al valor crítico, no podemos rechazar la hipótesis nula de que los residuos son aleatorios.

4. Predicción

La serie predicha debe ajustarse al modelo original. Si la predicción se mantiene constantemente por encima, el modelo está sobreestimado.

Conceptos de Estacionariedad

• Serie estacionaria: Estable, oscila alrededor de una media fija.
• Serie no estacionaria: Presenta tendencia.

Nota: Los modelos ARIMA/SARIMA requieren que la serie sea estacionaria.

Una serie es estacionaria cuando sus propiedades estadísticas (media y varianza) son constantes en el tiempo. Es estacional cuando presenta un comportamiento cíclico regular.

Ejemplo SARIMA(0,1,1)x(1,0,1): p (AR regular), d (diferenciación regular), q (MA media móvil).

Fórmulas de Topografía y Geometría

Elementos de Curvas y Cálculos

• Desarrollo (TT'): L = (π × R × α) / 200
• Cuerda: TT' = 2 × R × sen(α/2)
• Tangente: VT' = VT = R × Tg(α/2)
• Flecha: AC = R × (1 - cos(α/2))
• Bisectriz: VA = R × ((1 / cos(α/2)) - 1)
• Relación de ángulos: β = 200 - α; β + α = 200

Cálculos de Coordenadas y Distancias

• Azimut (σ): arctg(ΔX / ΔY)
• Distancia: √ΔX² + ΔY²
• Coordenada X: X = Xp + dist × sen(σ)

Resolución de Triángulos

• Teorema del Coseno: a/senA = b/senB = c/senC
• Fórmula de Herón: P = (a + b + c) / 2; Área = √P × (P-a) × (P-b) × (P-c)
• Método de Radiación: Área = (a × b × sen α) / 2
• Método de Coordenadas: 2A = ΣXn × (Yn-1 - Yn+1) o 2A = ΣYn × (Xn-1 - Xn+1)
• Teorema del Coseno (lado c): c = √a² + b² - ab × cos(α)