Fundamentos del Modelo de Espacio de Estado y Regla de Mason en Control Moderno

Modelo de Estado

El modelo de estado es la base de la teoría moderna de control. Se fundamenta en el comportamiento interno de los sistemas, reflejando las variables que influyen en su dinámica. Estas variables constituyen el concepto de estado del sistema.

Ventajas de la Teoría Moderna frente a la Teoría Clásica

• Aplicable a sistemas: multivariables, con relaciones no lineales, cuyos parámetros varían con el tiempo y sistemas complejos de control.
• Aplicable a la optimización del comportamiento del sistema: este modelo es denominado modelo de estado del sistema.

Conceptos Fundamentales

Concepto de estado: Es la mínima cantidad de información necesaria en un instante para que, conociendo la entrada a partir de ese instante, se pueda determinar cualquier variable del sistema en cualquier instante de tiempo posterior.

Se denomina representación interna cuando se utiliza el estado para representar un sistema, y representación externa cuando se emplea la relación entrada-salida (función de transferencia).

Espacio de estado: Es el espacio vectorial en el cual el vector de estado toma valores, teniendo, por lo tanto, la misma dimensión que el número de elementos de dicho vector.

Condiciones para la Representación y Elección del Modelo

Para representar variables de estado en función de transferencia, los sistemas deben cumplir las condiciones de linealidad e invarianza.

Condiciones al elegir un modelo de estado:

1. En la ecuación de estado solo pueden estar relacionadas las variables de estado, sus primeras derivadas y las entradas.
2. En la ecuación de salida solo pueden estar relacionadas las variables de estado, las entradas y las salidas.
3. Las variables de estado no pueden presentar discontinuidades.

Metodología para la Elección de Variables de Estado

1. Variables de estado con magnitudes físicas del sistema.
2. La idea básica es escoger como variables de estado los elementos que acumulen energía:
   • En sistemas eléctricos: las tensiones de los condensadores y las intensidades de las bobinas.
   • En sistemas mecánicos: las posiciones (energía potencial) y las velocidades o aceleraciones (energía cinética).
   • En sistemas hidráulicos: altura de fluido en los depósitos.
   • En los sistemas térmicos: temperatura (energía térmica).
3. Variables de estado como salida de los integradores del sistema.
4. Variables de estado de fase.
5. Variables de estado de Jordan.

Fórmula de Ganancia para Gráficas de Flujo de Señal (Regla de Mason)

Dada una gráfica de flujo de señal con N trayectorias directas y L mallas, la ganancia entre el nodo de entrada (Y_ent) y el nodo de salida (Y_sal) es:

M = Y_sal / Y_ent = Σ (M_k · Δ_k) / Δ

Donde:

• Y_ent: Variable del nodo de entrada.
• Y_sal: Variable del nodo de salida.
• M: Ganancia entre Y_ent y Y_sal.
• N: Número total de trayectorias directas entre Y_ent y Y_sal.
• M_k: Ganancia de la trayectoria directa k-ésima entre Y_ent y Y_sal.
• Δ (Delta): 1 - (ganancia de los lazos individuales) + (ganancia de los lazos pares que no se tocan) - (ganancia de tres mallas que no se tocan, si las hay).
• Δ_k: El valor de Delta para aquella parte de la gráfica del flujo de señal que no toca la k-ésima trayectoria directa.