Fundamentos del Modelado Matemático y Funciones de Transferencia en Sistemas de Control
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Modelado Matemático en Sistemas de Control
El primer paso para el diseño de un sistema de control es el modelado matemático de los procesos controlados. Debemos definir variables dinámicas que describan las características de dicho proceso; estas ecuaciones están relacionadas por leyes físicas, lo que nos permite vincularlas a través de modelos matemáticos.
Respuesta al Impulso
Una forma clásica de modelar la función de transferencia es por medio de la relación entrada-salida entre variables. Una manera de determinarla es utilizar la respuesta al impulso, la cual se define como la salida que obtenemos de un sistema cuando a la entrada aplicamos una función impulso unitario.
La función de transferencia de un sistema lineal e invariante en el tiempo (LTI) se define como la transformada de Laplace de la respuesta al impulso, asumiendo que todas las condiciones iniciales son iguales a cero.
Si G(s) denota la función de transferencia con una entrada U(t), una salida Y(t) y la respuesta al impulso G(t), la función de transferencia se representa frecuentemente mediante ecuaciones diferenciales.
Propiedades de la Función de Transferencia
- Sistemas LTI: Está definida únicamente para sistemas lineales e invariantes en el tiempo.
- Sistemas no lineales: No está definida para sistemas no lineales.
- Definición matemática: Se define como la transformada de Laplace de la respuesta al impulso, o bien, como el cociente entre la transformada de Laplace de la salida y la transformada de Laplace de la entrada.
- Condiciones iniciales: Todas las condiciones iniciales deben ser iguales a cero.
- Independencia: La función de transferencia es independiente de la entrada, mientras que la salida es dependiente de esta.
- Tiempo continuo: En sistemas de tiempo continuo, se expresa solo en función de la variable compleja S.
- Tiempo discreto: En sistemas de tiempo discreto, se expresa solo en función de la variable Z mediante la transformada Z.