Fundamentos de Métodos Numéricos: Epsilon, Dicotomía y Punto Fijo

1. Epsilon de Máquina

El Epsilon de máquina (ε) se define como el número positivo más pequeño tal que 1 + ε > 1 en la máquina. Su valor es ε = 2^1-p = 2^-52. Representa la distancia mínima entre el número 1 y el siguiente número representable en el sistema de punto flotante.

2. Algoritmo de Dicotomía

Sea f una función continua tal que f(a)f(b) < 0, con una raíz separada α en el intervalo (a, b). La sucesión (x_n) generada por este algoritmo converge a α cumpliendo las siguientes propiedades:

• Error: |e_k| = |x_k - α| ≤ (b - a) / 2^k+1 ≤ (b - a) / 2^k
• Intervalos: a₀ ≤ a₁ ≤ … ≤ a_k < x_k < b_k ≤ b_k-1 ≤ … ≤ b₀
• Convergencia: lim(a_k) = lim(x_k) = lim(b_k) = α
• Criterio de parada: k ≥ (log((b - a) / ε) / log 2) - 1

3. Existencia y Unicidad del Punto Fijo

Si f verifica f(I) ⊆ I y es una función contractiva en I con constante k ∈ [0, 1), entonces existe un único punto fijo α ∈ [a, b].

Condiciones de existencia:

• a ≤ f(a) ≤ b y a ≤ f(b) ≤ b
• a < f(a) y f(b) < b

Definiendo h(x) = f(x) - x, se observa que h(a) > 0 y h(b) < 0, garantizando por el teorema del valor intermedio que existe α tal que h(α) = 0.

4. Convergencia Global

Sea f una función contractiva en I con k ∈ [0, 1). Para cualquier x₀ ∈ I, la sucesión x_n+1 = f(x_n) converge a α. El método es de orden 1 y el error se acota mediante:

|x_n - α| ≤ (kⁿ / (1 - k)) |x₁ - x₀|

5. Teorema de Ostrowski

Sea f una función con un punto fijo α ∈ (a, b), derivable en α y tal que |f'(α)| < 1. Existe un entorno δ > 0 tal que, para cualquier x₀ ∈ (α - δ, α + δ), la sucesión x_n+1 = f(x_n) permanece en dicho entorno y converge a α con al menos orden 1.

La demostración se basa en que, al ser |f'(α)| < 1, existe un k = ε + |f'(α)| < 1 que permite acotar la distancia al punto fijo mediante la desigualdad: |f(x) - α| ≤ k|x - α|.