Fundamentos de Mecánica de Fluidos: Semejanza, Navier-Stokes y Turbulencia

Semejanza Física y Modelos Hidrodinámicos

La semejanza física completa exige que todos los parámetros adimensionales relevantes del problema tomen exactamente el mismo valor en el modelo de laboratorio que en el prototipo real. Sin embargo, en la práctica ingenieril, esto resulta matemáticamente imposible si se altera la escala geométrica empleando el mismo fluido. Se recurre entonces a la semejanza física parcial, que consiste en garantizar la igualdad únicamente de aquel parámetro adimensional que gobierna las fuerzas dominantes del flujo, aceptando y corrigiendo el error introducido por la no igualdad de los parámetros secundarios.

Incompatibilidad entre Reynolds y Froude

En el estudio de buques o canales abiertos intervienen dos tipos de fuerzas:

• Fuerzas viscosas (Número de Reynolds): Re = U · L / ν
• Fuerzas gravitatorias (Número de Froude): Fr = U / √(g · L)

Demostrar la incompatibilidad requiere igualar las relaciones de velocidad para ambos números, lo que conduce a la conclusión de que L_m = L_p. Esto invalida la utilidad de realizar un ensayo a escala si se pretenden cumplir ambos criterios simultáneamente con el mismo fluido.

Resolución práctica: Método de Froude

A números de Reynolds muy elevados, los coeficientes de fuerzas hidrodinámicas de presión se independizan de los efectos viscosos. Se prioriza la semejanza de Froude y se descompone la resistencia total al avance (Metodología de William Froude) para aislar la resistencia por formación de olas y corregir analíticamente la fricción viscosa.

Ecuaciones de Navier-Stokes y Leyes Constitutivas

Las ecuaciones generales de la Mecánica de Fluidos describen la conservación de la masa (Continuidad), la cantidad de movimiento (Segunda Ley de Newton) y la energía (Primer principio de la termodinámica).

• Condiciones iniciales y de contorno: Son indispensables para individualizar un problema. Las condiciones de contorno (Dirichlet y Neumann) definen el comportamiento en los límites sólidos o superficies libres.
• Leyes constitutivas: Vinculan esfuerzos macroscópicos con propiedades cinemáticas (ej. Ley de Navier-Poisson para fluidos newtonianos y Ley de Fourier para el flujo de calor).

Debido a su naturaleza no lineal, no existe una solución analítica general para las ecuaciones de Navier-Stokes, limitándose a casos con simplificaciones geométricas extremas.

Turbulencia y Ecuaciones de Reynolds

Para analizar flujos turbulentos, se utiliza la descomposición de Reynolds, separando la variable instantánea en un valor medio y una fluctuación: φ(x⃗, t) = φ̅(x⃗, t) + φ'(x⃗, t).

El problema de cierre surge porque los términos advectivos generan productos cruzados (tensiones de Reynolds: -ρ u'_i u'_j) que introducen más incógnitas que ecuaciones. Este término representa el transporte neto de cantidad de movimiento por intercambio turbulento y suele modelarse mediante la hipótesis de viscosidad turbulenta de Boussinesq.

Flujo Ideal y Capa Límite

Al despreciar la viscosidad y la conducción térmica, se llega a las ecuaciones de Euler. Estas son válidas cuando el número de Reynolds es muy elevado (Re > 10⁵), relegando los efectos viscosos a una delgada capa límite.

La teoría de la capa límite (Prandtl) define espesores característicos como el de desplazamiento (δ*) y el de cantidad de movimiento (θ). La relación entre el espesor de capa límite y el número de Reynolds se deduce como δ / L ≈ 1 / √Re_L.

Aplicaciones en Ingeniería de Fluidos

Ecuación de Euler-Bernoulli

Es una extensión de la ecuación de Bernoulli que incluye el término transitorio (∂u/∂t), permitiendo analizar flujos no estacionarios, como el cierre progresivo de válvulas en conductos.

Teoría de Kutta-Joukowski

Justifica la sustentación sobre cuerpos fuselados mediante la circulación de la velocidad (Γ). La fuerza de sustentación se expresa como L' = ρ U_∞ Γ, explicando el efecto Magnus y la aerodinámica de perfiles alares.

Diagrama de Moody y Pérdidas de Carga

El coeficiente de fricción de Darcy (λ) depende del número de Reynolds y la rugosidad relativa (k/D). En la zona completamente rugosa, λ se vuelve independiente de Re, mientras que en la zona laminar sigue la relación λ = 64 / Re.