Fundamentos de Mecánica Clásica: Cinemática, Dinámica y Energía

Movimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado (MRUA)

Si consideramos t₀ = 0:

• Aceleración (A): $A = (V - V₀) / t$ (Esta fórmula se puede despejar para obtener velocidad final, velocidad inicial o tiempo).

Ecuaciones de Posición en MRUA

Posición sin conocer el tiempo (t):

X: - / 2a) + X₀

Posición conociendo el tiempo (t):

X = t + 1/2 a + X₀

Movimientos Verticales y de Proyectiles

Movimientos Verticales

• Caída Libre: Cuando el cuerpo cae libremente, la velocidad inicial (V₀) es 0.
• Lanzamiento hacia abajo: V₀ ≠ 0.
• La aceleración se considera constante: g ≈ 9,8 m/s².

Movimiento Vertical Acelerado (Lanzamiento hacia arriba)

El cuerpo parte con una velocidad inicial hasta que esta se hace 0 en el punto más alto. El tiempo de subida (tₛ) es igual al tiempo de bajada (tᵦ).

Movimiento de Proyectiles (Movimiento Compuesto)

Este movimiento se descompone en dos ejes:

• Eje Horizontal (X): Es un Movimiento Uniforme (MU) con velocidad constante.
  • Posición: $X = V₀ \cos(\theta) t$
  • Velocidad: $V_x = V₀ \cos(\theta)$
• Eje Vertical (Y): Es un Movimiento Uniformemente Variado (MUV).
  • Posición: $Y = V_{oy} t + 1/2 g $
  • Velocidad: $V_y = V₀ \sin(\theta) + g t$

Fórmulas Clave del Movimiento Parabólico

• Altura Máxima (hₘₐₓ): (Donde g se usa como -9,8 m/s² si la fórmula ya incluye el signo negativo).
• Alcance Máximo (dₘₐₓ): - / g) $\sin(2\theta)$
• Tiempo Máximo (tₘₐₓ): $-2 V₀ \sin(\theta) / g$

Movimiento Circular (MC)

Todo cuerpo que describe una trayectoria circular tiene Movimiento Circular, el cual tiene asociado un arco de circunferencia.

Conceptos y Fórmulas Clave

• Velocidad Tangencial (V): Desplazamiento lineal / Tiempo ($V = S/t$). También conocida como Rapidez Circunferencial.
• Velocidad Angular ($\omega$): Desplazamiento angular / Tiempo.
  • Su dirección es perpendicular al plano y su sentido se determina por la regla del tirabuzón o sacacorchos.
  • Rapidez Angular: Ángulo descrito / Tiempo.
• Periodo (T): Tiempo necesario para realizar una vuelta completa.
• Frecuencia (N): Número de vueltas por unidad de tiempo ($N = 1/T$). Se mide en revoluciones por minuto (rpm) o revoluciones por segundo (rps).

Relaciones Fundamentales

• $V = 2 \pi r / T$
• = $2 \pi N$
• Relación entre velocidades: $V = r$

Aceleraciones en MC

La dirección y el sentido de (vector de posición o radio) son importantes, y siempre habrá aceleración en un movimiento circular.

• Aceleración Centrípeta o Radial (Aₙ): La velocidad y la aceleración están dirigidas hacia el centro.
  • $A_c = / r$
  • $A_c = r$
• Aceleración Tangencial (Aₜ): $A_t = r / T$ o $A_t = a \sin(\theta)$. El ángulo se mide en radianes (rad).

Arco y Perímetro

El arco (perímetro de la circunferencia) es $2 \pi r$.

Conversión de velocidad: $V (\text{m/s}) = \text{rpm} \times (2 \pi r / 60)$ / r

Dinámica: Fuerza y Leyes de Newton

Concepto de Fuerza

La fuerza es la interacción de un cuerpo sobre otro. Las fuerzas son magnitudes vectoriales.

• Fuerzas de Campo: No requieren contacto físico (ej. gravedad).
• Fuerzas de Contacto: Implican contacto (incluso a nivel microscópico).

Fuerzas Fundamentales de la Naturaleza

• Gravitacionales: Fuerzas de atracción debidas a la masa de los cuerpos.
• Electromagnéticas: Fuerzas de atracción y repulsión debidas a las cargas eléctricas.
• Nucleares Fuertes: De corto alcance y mayor intensidad.
• Nucleares Débiles: Permiten la desintegración del átomo (desintegración beta).

Leyes de Newton

1. Ley de Inercia

Si un objeto no interactúa con otros objetos, es posible identificar un marco de referencia en el que el objeto tiene aceleración cero. Este se llama Marco de Referencia Inercial.

Un cuerpo tiende a mantener su estado de movimiento (reposo o velocidad constante) a menos que surja una fuerza neta que lo obligue a cambiarlo, causando el inicio de un movimiento, acelerándolo, frenándolo o manteniéndolo a velocidad constante.

2. Ley de las Aceleraciones (Fuerza y Masa)

La aceleración de un cuerpo es directamente proporcional a la fuerza neta aplicada e inversamente proporcional a su masa ($\vec{F} = m\vec{a}$).

3. Ley de Acción y Reacción

A toda acción (Fuerza A ejercida por el cuerpo A sobre B) se opone siempre una reacción (Fuerza B ejercida por el cuerpo B sobre A) de igual magnitud y dirección, pero en sentido opuesto.

Energía y Trabajo

Concepto de Energía

La energía (eléctrica, eólica, hidráulica, etc.) se puede transformar de una forma a otra, pero no se crea ni se destruye (Principio de Conservación).

• Energía de un Sistema: Es la capacidad del sistema para realizar trabajo (transferencia de energía).

Trabajo (W)

El trabajo es el producto escalar entre el vector fuerza ($\vec{F}$) y el desplazamiento ($\vec{d}$).

$W = F d \cos(\theta)$ (Fuerza por desplazamiento, considerando el ángulo entre ellos).

Energía Cinética (K)

Es la energía que poseen los cuerpos en movimiento. No se puede almacenar porque se libera de inmediato. Se mide en Joules (J).

$K = (1/2) m $

Teorema del Trabajo y la Energía Cinética: El trabajo neto realizado sobre un cuerpo es igual al cambio en su energía cinética.

$W = K_f - K_o$

Ejercicios de Aplicación

Ejercicio 1: Equilibrio en Plano Inclinado (Sin Fricción)

Problema: Un bloque de concreto de 200 N descansa sobre un plano inclinado sin fricción que tiene una pendiente de 30°. El bloque está atado a una cuerda que pasa sobre una polea sin fricción colocada en el extremo superior del plano y va atada a un segundo bloque. ¿Cuál es el peso del segundo bloque si el sistema se encuentra en equilibrio?

Solución (Condición de Equilibrio: Tensión = Componente del Peso)

Ejercicio 2: Movimiento a Velocidad Constante en Plano Inclinado (Con Fricción)

Problema: Un bloque de concreto de 120 N está en reposo en un plano inclinado a 30°. Si el coeficiente de fricción ($\mu$) es 0,5. ¿Qué fuerza paralela al plano y dirigida hacia arriba de este hará que el bloque se mueva?

Nota: Para que el bloque se mueva a velocidad constante, la fuerza neta debe ser cero. La fuerza de fricción estática máxima debe ser superada.

a) Hacia arriba del plano con velocidad constante

Cálculo de la Normal (N):

$N = P \cos(30°)$

$N = 120 \text{ N} \times 0,866 \approx 104 \text{ N}$

Componente del peso paralela al plano:

$P_x = P \sin(30°)$

$P_x = 120 \text{ N} \times 0,5 = 60 \text{ N}$

Fuerza de fricción cinética ($F_k$):

$F_k = \mu_k N = 0,5 \times 104 \text{ N} = 52 \text{ N}$

Fuerza requerida (F): $F = P_x + F_k$

$F = 60 \text{ N} + 52 \text{ N} = 112 \text{ N}$

b) Hacia abajo del plano con rapidez constante

(El problema original solo enuncia la pregunta b, sin solución. Se mantiene el enunciado.)

Ejercicio 3: Dinámica de Dos Cuerpos (Máquina de Atwood Modificada)

Problema: Considere $m_1 = 20 \text{ kg}$ y $m_2 = 18 \text{ kg}$ en el sistema representado en la figura. Si el coeficiente de fricción es 0,1 y el ángulo de inclinación es de 30°. Encuentre la aceleración del sistema y la tensión de la cuerda.

Ejercicio 4: Conservación de Energía en Plano Inclinado

Problema: Un trineo de 20 kg descansa en la cima de una pendiente de 80 m de longitud y 30° de inclinación. Si $\mu = 0,2$, ¿cuál es la velocidad del trineo al pie del plano inclinado?

Ejercicio 5: Colisión y Conservación de Momento

Problema: Una bala de 12 g se dispara hacia un bloque de madera de 2 kg suspendido de un cordel. El impacto de la bala hace que el bloque oscile hasta 10 cm más arriba de su nivel original. Calcule la velocidad de la bala cuando golpea al bloque.