Fundamentos Matemáticos de la Aproximación y Errores de Interpolación

Teorema de Aproximación de Weierstrass

El Teorema de aproximación de Weierstrass establece que, sea f una función continua definida en un intervalo [a, b], para todo ε > 0, le corresponde un polinomio P tal que se cumple la aproximación deseada.

De forma general, el error total al aproximar una función proviene de dos fuentes o componentes principales de error:

• Error de truncamiento: Asociado al método de aproximación empleado.
• Error de redondeo: Asociado a la precisión finita del cálculo computacional.

Teorema del Error de Truncamiento

Sea f una función de clase C, definida en un intervalo [a, b] y sean x₀, x₁, . . . , xₙ, N + 1 puntos de interpolación distintos, pertenecientes al intervalo [a, b], de los que se obtiene el polinomio interpolante Iₙ de grado ≤ N. Entonces, a cada punto x perteneciente al intervalo [a, b], le corresponde un punto ξ, que pertenece al intervalo de estudio.

Error de Redondeo y Condicionamiento

Por otro lado, existe un error asociado a la sensibilidad del método de aproximación a perturbaciones que se conoce como condicionamiento del método de aproximación. Al implementar un método de aproximación en un ordenador, aparecen perturbaciones asociadas a la aritmética de precisión finita; por lo tanto, a este error se le conoce como error de redondeo.

Teorema del Error de Interpolación con respecto al Mejor Interpolante

Sea Λₙ la constante de Lebesgue, f una función definida en [a, b], Iₙ el polinomio interpolante correspondiente e Iₙ* el mejor polinomio interpolante. Entonces, se establece la relación de error correspondiente.

Si la constante de Lebesgue de nuestro conjunto de puntos xⱼ (j = 0, . . . N) es grande, el error de interpolación con respecto al error del interpolante óptimo será igualmente grande.

Análisis de Mallas Equiespaciadas y Orden de Error

Es importante hacer notar que si la malla es equiespaciada y q es par, la función se anula en el punto central y el factor correspondiente se hace cero, quedando la derivada primera y la derivada segunda con el mismo orden de error. Por esta razón, siempre se elige q par cuando se interpola con polinomios continuos a trozos.

Si consideramos N + 1 puntos nodales equiespaciados en el compacto [−1, 1], entonces, Δx = 2/N. A partir de la expresión (5.29), vemos que el error de truncamiento es inversamente proporcional al número de puntos al cuadrado. O lo que es lo mismo: si integramos numéricamente con 2N puntos, entonces el error de truncamiento se divide por 2².

En general, se dice que un determinado esquema numérico es de orden q si, al duplicar el número de puntos manteniendo la distribución de los puntos nodales constante, el error se divide por 2^q.