Fundamentos de Matemáticas: Proporcionalidad, Sucesiones, Geometría y Álgebra

Proporcionalidad Directa

Para calcular la proporcionalidad directa, se debe dividir cada valor de la segunda magnitud (y) entre su correspondiente en la primera magnitud (x). Si al realizar esto se obtiene el mismo número, significa que los cocientes son constantes. La fórmula fundamental es: y/x = k (donde k es la constante de proporcionalidad directa).

Sucesiones Numéricas

Regla General de una Sucesión

En una sucesión como 5, 10, 15, 20, 25..., se observa que los valores aumentan de 5 en 5. Para escribir la regla general, se coloca el número 5 y se le asigna una literal, generalmente la "n" (quedando como 5n).

Aplicación de la Regla General

Dada la regla general de una sucesión: 3n + 5, si deseamos encontrar el término número 12 de la misma, se realiza el siguiente procedimiento: se multiplica 3 × 12 = 36 y luego se suma 5, obteniendo 36 + 5 = 41.

Conversiones de Unidades

A continuación, se presentan las equivalencias para realizar conversiones de medida:

• Pulgada: 2.54 cm
• Galón: 3.78541 litros
• Libra: 453.592 g
• Yarda: 91.44 cm
• Onza líquida: 29.5735 ml
• Onza: 28.3495 g
• Pie: 30.48 cm
• Taza: 236.588 ml

Geometría: Áreas y Volúmenes

Fórmulas para Calcular el Área

• Triángulo: A = (b · h) / 2
• Cuadrado: A = L · L
• Rectángulo: A = b · h
• Pentágono: A = (P · a) / 2
• Círculo: A = π · r²

Fórmula para Calcular el Volumen

Para obtener el volumen de un cuerpo geométrico, se utiliza la fórmula: V = A_b × h (donde A_b representa el área de la base y h la altura).

Álgebra y Resolución de Ecuaciones

Ejemplo de Suma y Resta de Polinomios

Para simplificar expresiones algebraicas, agrupamos términos semejantes:

• Suma: (6x + 2y) + (7x + 5y) = 13x + 7y
• Resta: -(2x + 6y) - (6x + 12y) = -2x - 6y - 6x - 12y = -8x - 18y

Resolución de Ecuaciones Lineales

Ejemplos de despeje en multiplicaciones y sumas:

• Ecuación 1: 2x + 8 = 18 → 2x = 18 - 8 = 10 → x = 10/2 → x = 5
• Ecuación 2: 3x - 5 = 35 → 3x = 35 + 5 = 40 → x = 40/3

Método de Igualación para Sistemas de Ecuaciones

Para resolver el sistema formado por:

1. x + y = 9
2. 2x + 5y = 36

Paso 1: Despejar la misma incógnita en ambas ecuaciones

• De la primera: x = 9 - y
• De la segunda: 2x = 36 - 5y → x = (36 - 5y) / 2

Paso 2: Igualar las expresiones

9 - y = (36 - 5y) / 2

Paso 3: Resolver para 'y'

2(9 - y) = 36 - 5y
18 - 2y = 36 - 5y
-2y + 5y = 36 - 18
3y = 18
y = 18/3 → y = 6

Paso 4: Sustituir 'y' para encontrar 'x'

x = 9 - y
x = 9 - 6
x = 3

Paso 5: Comprobación

2x + 5y = 36
2(3) + 5(6) = 36
6 + 30 = 36
36 = 36