Fundamentos de Matemática Financiera: Interés, Descuento y Rentas

Similitudes y Diferencias entre Descuento e Interés

Similitudes

Las dos magnitudes representan el rendimiento de un capital asociado a un intervalo de tiempo (t₁, t₂).

Diferencias

• El descuento (D): Se obtiene a partir de un capital valorado al final de la operación (t₂). Dicho capital D está valorado al principio de la operación (t₁).
• El interés (I): Se obtiene a partir de un capital valorado al principio de la operación (t₁). Representa el rendimiento valorado en t₂.

Relación entre Interés y Tipo de Interés

En la siguiente expresión: I = C_N - C = C[(1 + i)^N - 1], razonadamente, ¿qué ocurre si C = 1 y N = 1?

I = C_N - C = C[(1 + i)ⁿ - 1] = 1[(1 + i)¹ - 1] = i

El interés es la cuantía del capital por el rédito del periodo. Si C = 1 y n = 1, entonces el interés coincide con el tipo de interés. El tipo de interés representa el rendimiento obtenido por cada unidad monetaria (C = 1) asociado a un intervalo unitario (n = 1). Al ser n = 1, coincide con el tipo de interés.

Obtención del Parámetro i de la Ley de Capitalización Compuesta

Partiendo de la fórmula:

C₁(1 + i)^{tn - t1} = C₂(1 + i)^{tn - t2}

Derivamos la relación:

C₂ / C₁ = (1 + i)^{tn - t1} / (1 + i)^{tn - t2} = (1 + i)^{t2 - t1}

Por lo tanto:

(1 + i) = (C₂ / C₁)^{1 / (t2 - t1)}

En consecuencia: i = (C₂ / C₁)^{1 / (t2 - t1)} - 1

Factor Financiero con Ley de Capitalización Compuesta en T=4 con Intereses Anuales

u(t₀, t_n) = u(t₀, t₁) u(t₁, t₂) u(t₂, t₃) u(t₃, t₄) = (1 + i₁)(1 + i₂)(1 + i₃)(1 + i₄) = Π (1 + i_h)

Fraccionamiento Aritmético de una Renta Simple

El fraccionamiento aritmético de una renta simple incrementa el valor de la misma:

El fraccionamiento aritmético de una renta consiste en dividir cada una de las cuantías de sus términos en m subcuantías, tales que su suma aritmética sea la cuantía inicial, y descomponer cada periodo en m subperiodos, asociando cada subcuantía a cada uno de los subperiodos.

El fraccionamiento aritmético de frecuencia m en una renta de n términos la transforma en otra de n * m términos, siendo la suma aritmética de las cuantías igual en ambas, pero no así su valor financiero.

Esquema y Expresión Analítica

¿Cuál es el esquema y la expresión analítica que responde a la siguiente expresión? A^(m)(C, q) n i

A^(m)(C, q) n i = (i / j^(m)) * A(C, q) n i = (i / j^(m)) * C[...]

Relación entre Rentas Fraccionadas Pospagables y Prepagables

¿Existe alguna relación entre las rentas fraccionadas pospagables y las rentas fraccionadas prepagables?

Sí, la prepagable es igual a la pospagable multiplicada por (1 + i^(m))¹.

Valor en t₀ de una Renta Perpetua

Calculamos primero el valor un periodo antes de t₀. A continuación, multiplicamos el resultado por (1 + i).

A_{∞ i} = lim (n → ∞) A_{n i} = lim [...]

Impacto de la Variación del Tipo de Interés en Rentas Constantes Temporales

Si en una renta constante temporal el tipo de interés se incrementa: ¿Qué ocurre con el valor final de la renta? ¿Y con el valor actual?

• Valor final: El valor final de una renta aumenta, ya que al desplazar los capitales hacia adelante, los factores de capitalización tienen exponentes positivos.
• Valor actual: El valor actual disminuye, ya que al desplazar los capitales hacia atrás hay que utilizar factores de contracapitalización (descuento) y estos tienen los exponentes negativos.