Fundamentos de la Lógica Simbólica y Proposicional

Estructura del Silogismo

El silogismo se compone de tres elementos fundamentales:

• Término mayor (P): Es el predicado de la conclusión.
• Término menor (S): Es el sujeto de la conclusión.
• Término medio (M): Aparece en las dos premisas, pero no en la conclusión.

Estructura: Si S (término menor) está incluido en M (término medio) y M está incluido en P (término mayor), entonces S debe estar incluido en P. Ejemplo: "Todos los hombres son mortales. Sócrates es hombre. Por lo tanto, Sócrates es mortal". Aquí, S es Sócrates, P es mortal y M es hombre.

La Lógica Contemporánea y el Lenguaje Simbólico

La lógica contemporánea utiliza un lenguaje artificial (simbólico) en lugar del lenguaje ordinario, que a menudo es confuso, ambiguo y está lleno de dobles sentidos que dificultan la comunicación. La creación de un lenguaje simbólico permite definir con claridad y precisión el significado de los términos y las reglas para combinarlos. Por eso, la lógica contemporánea recibe el nombre de lógica simbólica.

Lógica Proposicional

La lógica proposicional es la parte más sencilla de la lógica simbólica. Estudia los razonamientos en los que intervienen afirmaciones consideradas como un todo, sin analizar el contenido interno de cada proposición.

• Proposiciones simples o atómicas: No contienen otra proposición en su interior.
• Proposiciones compuestas o moleculares: Están formadas por varias proposiciones relacionadas entre sí.

Ejemplo: "Celia toca el violín y juega al fútbol" es una proposición molecular compuesta por dos atómicas: "Celia toca el violín" y "Celia juega al fútbol".

Para representar una proposición atómica se usan letras minúsculas (p, q, r...), mientras que para representar cualquier proposición (atómica o molecular) se usan letras mayúsculas (A, B, C...).

Los Conectores Lógicos

El lenguaje de la lógica representa las conexiones entre proposiciones mediante símbolos especiales:

• ¬ (negación): Niega una proposición (ej. ¬p equivale a "no p").
• ∧ (conjunción): Une dos proposiciones con "y" (ej. p ∧ q significa "p y q").
• ∨ (disyunción): Une dos proposiciones con "o" (ej. p ∨ q significa "p o q").
• → (implicación): Representa una condición "si... entonces..." (ej. p → q).
• ↔ (coimplicación): Representa una situación bicondicional "si y sólo si..." (ej. p ↔ q).

Además, se utilizan signos auxiliares como paréntesis y corchetes para indicar el orden de prioridad.

Tablas de Verdad

El número de filas de una tabla de verdad depende del número de proposiciones atómicas: si hay 1, la tabla tendrá 2 filas; si hay 2, tendrá 4, y así sucesivamente. Para elaborar una tabla compleja, se debe comenzar por el interior de los paréntesis, respetando la prioridad de los conectores.

Clasificación de las Fórmulas

Según el resultado de la última columna de la tabla de verdad, las fórmulas se clasifican en:

• Tautología: Todos los resultados son 1 (verdaderos). La expresión es siempre verdadera.
• Contradicción: Todos los resultados son 0 (falsos). La expresión es siempre falsa.
• Indeterminación: Los resultados son una mezcla de unos y ceros. La expresión puede ser verdadera o falsa según los valores de las proposiciones.