Fundamentos de Geometría: Rectas, Triángulos y Semejanza de Figuras

Rectas Paralelas y Transversales

Definición: Las rectas paralelas contenidas en un mismo plano son aquellas que no tienen puntos en común; esto equivale a decir que son coplanarias y su intersección es vacía.

Si dos rectas son cortadas por una tercera recta, a esta tercera recta se le conoce como transversal.

Definición: Una transversal es una recta que corta a dos o más rectas de un mismo plano en puntos diferentes.

Teoremas y Postulados de Paralelismo

Teorema: Si una recta en un plano es perpendicular a una de dos rectas paralelas, entonces es perpendicular a la otra.

Teorema: Los ángulos correspondientes formados por dos rectas y una transversal son congruentes si y solo si las rectas son paralelas.

Postulado 6: Dos o más ángulos correspondientes son congruentes si y solo si las rectas cortadas por una transversal son paralelas.

Teorema 6: Dos rectas cortadas por una transversal son paralelas si y solo si los ángulos alternos internos (o alternos externos) son congruentes.

Postulado de Euclides: Por un punto externo a una recta pasa una única recta paralela a ella.

Propiedades de los Triángulos

Teorema 7: La suma de las medidas de los ángulos internos de un triángulo es igual a la medida de un ángulo llano (180°).

Teorema 8: La suma de las medidas de dos ángulos internos de un triángulo es igual a la medida del suplemento del tercero.

Teorema 9: En todo triángulo isósceles, la bisectriz del ángulo exterior al ángulo del vértice es paralela a la base.

Cuadriláteros y Mediatriz

Definición: Un paralelogramo es un cuadrilátero en el que ambos pares de lados opuestos son paralelos.

Definición: Un rombo es un paralelogramo con lados adyacentes congruentes.

Definición: Se llama mediatriz de un segmento al conjunto de puntos que equidistan de sus extremos.

Razones, Proporciones y Semejanza

Definición: Se llama razón al cociente de dos números, en donde el denominador es diferente de cero. Escribimos la razón como a/b o a : b.

Definición: Se llama proporción a la igualdad de dos razones.

Definición: En una proporción, se dice que b es la media geométrica de a y c, tal que b² = a · c.

Definición: Se dice que dos pares de segmentos son proporcionales si sus longitudes forman una proporción.

Definición: Dos triángulos son semejantes si sus ángulos correspondientes son congruentes y sus lados correspondientes son segmentos proporcionales (tienen la misma forma, pero diferente tamaño).

Criterios de Semejanza

Postulado 9 (AAA): Si los tres ángulos de un triángulo son respectivamente congruentes con los tres ángulos de otro, entonces los triángulos son semejantes.

Teorema 11 (AA-AA): Si dos ángulos de un triángulo son congruentes con dos ángulos de otro, entonces los triángulos son semejantes.