Fundamentos de Geometría y Probabilidad: Conceptos Esenciales

Geometría en el Plano

• Recta: Prolongación indefinida de un segmento por ambos extremos (r, s). Pueden ser coincidentes, paralelas, secantes o perpendiculares (ángulo recto).
• Semirrecta: Cada una de las dos partes en que queda dividida una recta por cualquiera de sus puntos (origen).
• Ángulo: Área delimitada por dos semirrectas de origen común (vértice). Se miden en radianes o grados sexagesimales. Tipos: Nulo, recto, llano, completo, agudo, obtuso, complementarios y suplementarios.

Triángulos

Polígono de 3 lados, 3 ángulos y 3 vértices. Un vértice es el extremo común de sus dos lados adyacentes. Un lado y un vértice son opuestos si el lado no es adyacente al vértice.

• Propiedades: Convexo, la suma de ángulos interiores es igual a 2 rectos. El ángulo exterior es igual a la suma de los interiores no adyacentes.
• Clasificación según sus lados: Equiláteros, isósceles y escalenos.
• Clasificación según sus ángulos: Rectángulos, acutángulos y obtusángulos.

Cuadriláteros

Polígono de 4 lados con dos diagonales que son los segmentos entre dos vértices opuestos.

• Paralelogramos: Lados paralelos de igual longitud y ángulos opuestos iguales. Incluye: Rectángulo, Rombo, Cuadrado y Romboides.
• Trapecios: Cuadrilátero con solo 2 lados paralelos (bases). La distancia entre estas es la altura. Se clasifican en: Rectángulo, Isósceles y Escaleno.
• Trapezoides: Cuadrilátero que no es ni paralelogramo ni trapecio. Un caso peculiar es el deltoide o cometa.

Polígonos Regulares y Teoremas

Son polígonos convexos, equiláteros y equiángulos (penta, hexa, hepta, octo, nona, deca, endeca, dodeca, icosa). Para averiguar el ángulo interior: (n-2) * 180 / n.

• Teorema de Thales: Si dos triángulos son semejantes, sus lados homólogos son proporcionales. La razón de semejanza es el cociente entre los lados homólogos.
• Generalización de Thales: Si dos rectas secantes son cortadas por dos o más paralelas, los segmentos determinados en una recta secante son proporcionales a los segmentos correspondientes en la otra.

Geometría en el Espacio

Curva: Línea continua de dirección unidimensional variable en el espacio (cerrada, simple).

Poliedros

Sólidos cuya superficie es cerrada, simple y formada por polígonos. Fórmula de Euler: Nº Caras + Nº Vértices = Nº Aristas + 2.

• Pirámides: Poliedro donde una cara es un polígono y las otras son triángulos que convergen en un vértice. Se clasifican por su inclinación (recta u oblicua) y por el polígono de la base (regular, irregular, convexo o cóncavo).
• Prismas: Poliedro donde dos caras son polígonos iguales y paralelos (bases) y las otras son paralelogramos (caras laterales).
• Paralelepípedos: Prismas de 6 caras paralelogramos. Incluyen ortoedros, cubos, oblicuos y romboedros.

Probabilidad y Combinatoria

Regla de Laplace

Si todos los sucesos elementales de un espacio muestral son equiprobables, la probabilidad P(A) es: P(A) = casos favorables / casos posibles.

Probabilidad Condicionada

Probabilidad de que ocurra el suceso A si ha ocurrido B: P(A/B) = P(A∩B) / P(B).

Números Combinatorios y Técnicas de Conteo

Definición: (n sobre m) = n! / (m! * (n-m)!).

• Variaciones ordinarias (sin repetición): V(n, m) = n! / (n-m)!
• Variaciones con repetición: VR(n, m) = n^m
• Permutaciones sin repetición: Pn = n!
• Combinaciones sin repetición: C(n, m) = n! / (m! * (n-m)!)