Fundamentos de Geometría Euclidiana: Punto, Recta y Plano

Conceptos Primitivos de la Geometría

El punto, la recta y el plano son términos primitivos, ya que se aceptan sin definirlos.

Estos conceptos son abstractos, pero se pueden representar de la siguiente manera:

• Los puntos se representan con letras minúsculas.
• Las rectas se representan con letras mayúsculas.
• Los planos se representan con letras griegas.

Características de los Elementos

• El punto no tiene dimensión.
• La recta es un conjunto de puntos alineados y no tiene ni principio ni fin.
• El plano es un conjunto de infinitos puntos y tiene dos dimensiones.

Relaciones entre Rectas

• Coplanares: Están incluidas en el mismo plano.
• Paralelas: Ejemplo: A // B.
• Concurrentes, Incidentes o Secantes: Se cortan en un punto.
• Oblicuas: Ejemplo: A < B. Se cruzan en algún punto y forman cuatro ángulos que no son rectos; cada uno es igual a su opuesto.
• Perpendiculares: Ejemplo: D ⊥ C.
• Alabeadas: No están en el mismo plano.

Ángulos y Construcciones Geométricas

Un giro completo equivale a 360 grados.

Trazado de Bisectriz

La bisectriz (BZ) es la semirrecta que divide un ángulo en dos ángulos iguales.

Procedimiento: Clavar el compás en el vértice y realizar las marcas correspondientes.

Trazado de Paralelas y Perpendiculares

• Trazado de paralelas: Poner la regla y deslizar la escuadra.
• Trazado de perpendiculares: Se apoya uno de los catetos de la escuadra sobre la recta y se traza la perpendicular.

Trazado de Mediatriz

La mediatriz (MZ) es la recta perpendicular que pasa por el punto medio de un segmento.

Procedimiento: Apoyar el compás en uno de los extremos, abrirlo hasta que pase la mitad del segmento y trazar el semicírculo.

Lenguaje Coloquial y Simbólico

• Complemento de E: 90° - E
• Suplemento de E: 180° - E
• La mitad del suplemento de E: (180° - E) : 2
• El complemento de la mitad de E: (90° - E) : 2
• Cuarta parte del complemento de E: (90° - E) : 4
• El doble del complemento de E: 2 · (90° - E)

Clasificación de Ángulos según su Suma

Ángulos Complementarios

Dos ángulos son complementarios si la suma de sus amplitudes es igual a 90°.

Ejemplo: x e y son complementarios porque x + y = 90°.

Ángulos Suplementarios

Dos ángulos son suplementarios si la suma de sus amplitudes es igual a 180°.

Relaciones entre Ángulos

Ángulos Adyacentes

Es un par de ángulos consecutivos y suplementarios. Tienen un lado en común y los otros dos son semirrectas opuestas.

Ángulos Consecutivos

Son consecutivos cuando tienen el vértice y un lado en común.

Ángulos Opuestos por el Vértice

Par de ángulos que tienen el vértice en común y sus lados son semirrectas opuestas (el sistema que divide en cuatro ángulos).

Ecuaciones con Sistema Sexagesimal

Ejemplo de resolución:

2 · x - 50° 10' 55" = 10° 35' 15"

2x = 10° 35' 15" + 50° 10' 55"

2x = 60° 46' 10"

x = 60° 46' 10" : 2

x = 30° 23' 05"

Verificación:

2 · x - 50° 10' 55" = 10° 35' 15"

2 · (30° 23' 05") - 50° 10' 55" = 10° 35' 15"

60° 46' 10" - 50° 10' 55" = 10° 35' 15"

10° 35' 15" = 10° 35' 15"