Fundamentos de Geometría: Axiomas, Figuras y Transformaciones

Axiomas de Euclides

• Axioma 1: Dados dos puntos, podemos trazar una línea recta que los una.
• Axioma 2: Dado un segmento, podemos prolongarlo de manera continua en ambas direcciones.
• Axioma 3: Podemos trazar una circunferencia con centro en cualquier punto y de cualquier radio.
• Axioma 4: Los ángulos rectos siempre son congruentes.
• Axioma 5: Dado un punto exterior a una recta, podemos trazar una única paralela a la recta dada.

Teorías sobre el pensamiento espacial (Piaget)

• Capacidad perceptiva: Hasta los dos años.
• Capacidad representativa: Aparece a los dos años y se perfecciona hasta los siete.

Diferenciación de las propiedades geométricas

• Propiedad topológica: Propiedad global independiente al tamaño y forma (ordenación).
• Propiedad proyectiva: Capacidad del niño para predecir el aspecto de un objeto desde diferentes puntos de vista.
• Propiedad de Euclides: Relativa a tamaños, distancias y direcciones.

Segmentos

• Dada una recta r y dos puntos A y B de la recta r, el conjunto de puntos de esta recta situados entre A y B es un segmento. Se denomina AB.
• A y B son los extremos del segmento.
• La longitud del segmento AB es la distancia entre los puntos A y B.
• Dos segmentos son congruentes si tienen la misma longitud.
• El punto medio de un segmento es el punto que equidista de los dos extremos.

Ángulos

• Es la unión de dos semirrectas con un extremo común; este se llama vértice y las dos semirrectas son los lados del ángulo.
• La región que forma el ángulo determina la amplitud de este.
• Son congruentes si tienen la misma amplitud.

1. Consecutivo: Mismo vértice y un lado en común.
2. Suplementarios: Ángulos consecutivos con un lado no común en la misma recta. La suma de la amplitud es 180°.
3. Complementarios: Ángulos consecutivos cuya suma de amplitud es 90°.
4. Verticales: Ángulos no consecutivos formados por la intersección de dos rectas.

Curvas y regiones

Una curva en el plano es la sucesión continua de puntos unidimensionales. Es el conjunto de puntos que se pueden trazar con un lápiz sin levantarlo.

• Si el lápiz pasa por el mismo punto dos veces, se dice que una curva es no simple.
• Si el lápiz se levanta en el mismo punto en el que se comienza a trazar, se dice que es cerrada; en caso contrario, se dice que es abierta.
• Si el único punto por el que el lápiz pasa dos veces es el del comienzo y el del final, se dice que es simple y cerrada.

Región: Una región es cada una de las áreas definidas por una curva.

Componentes elementales de las figuras

1. Punto: Figura geométrica simple, sin dimensión, área, longitud ni volumen. Indica la posición en el espacio. Se representa con • y se denomina con letras mayúsculas.
2. Recta: Conjunto de puntos infinitos situados en la misma dirección. Se prolongan indefinidamente en ambos sentidos; es unidimensional porque no tiene área. Se representa con trazos rectos y se denomina con letras minúsculas.
3. Plano: Conjunto de infinitos puntos que tienen únicamente longitud y anchura. Tiene área, no volumen. Es bidimensional e incluye infinitas rectas. Se representa con paralelogramos y se denomina con letras griegas.

Transformaciones geométricas en el plano

1. Polígonos semejantes: Dos polígonos son semejantes si tienen ángulos homólogos iguales y lados homólogos proporcionales.
2. Movimiento rígido o isometría: Es una transformación que no permite estirar o encoger distancias.
3. Traslación: Movimiento rígido en el que se mueven todos los puntos del plano a la misma distancia en la misma dirección.
4. Rotación: Movimiento rígido en el cual un punto del plano queda fijo (centro de rotación). El resto gira a su alrededor el mismo número de grados (ángulo de rotación).
5. Reflexión: Movimiento rígido determinado por una línea en el plano (línea de reflexión). Cada punto P del plano se transforma en un punto P’ en el lado opuesto de la línea y a la misma distancia.
6. Homotecia: Transformación en la cual se fija un punto como centro y los puntos del plano se mueven hacia él o se alejan de él por el mismo factor k.
7. Teselación: Es la forma que se repite para crear un patrón.

Figuras geométricas

Circunferencia

Es una curva cerrada en la que todos sus puntos equidistan de un punto interior llamado centro.

• Radio: Es la distancia del centro a cualquier punto de la circunferencia.
• Cuerda: Es un segmento que une dos puntos de la circunferencia.
• Diámetro: Es la cuerda que pasa por el centro.
• Arco: Es la parte de la circunferencia comprendida entre dos puntos.

Triángulo

Polígono de tres lados.

• Altura: Recta perpendicular que une la base con el vértice opuesto.
• Mediana: Recta que une el punto medio de la base con el vértice opuesto.
• Ortocentro: Las tres alturas de un triángulo se cortan en el ortocentro.
• Baricentro: Las tres medianas de un triángulo se cortan en el baricentro.

Justificación del área del polígono (P · a / 2)

Todo polígono regular de n lados se puede dividir en n triángulos iguales. Para calcular el área, podemos calcular el área de cada uno de los triángulos y multiplicarlo por n.

• Área polígono = área triángulo · n = n · (l · a) / 2 = n · l · a / 2 = P · a / 2

Cuerpos geométricos

• Poliedro: Cuerpo geométrico en el espacio que tiene un volumen finito y caras planas. Puede ser regular o irregular según sus caras.
• Pirámide: Cuerpo geométrico limitado por un polígono base y por caras laterales que son triángulos con un vértice en común. La altura es el segmento que pasa por el vértice y es perpendicular a la base. El apotema es la altura de las caras triangulares.
• Cilindro: Superficie generada por el giro de una recta (generatriz) alrededor de un eje. También se define como la región limitada por dos planos paralelos o la rotación de un rectángulo alrededor de uno de sus lados.